Мельник Д.С., керівник Івахненко Н.М.

Донецький національний університет економіки і торгівлі

імені Михайла Туган-Барановського

Простір індикаторів в системі міжнародних відносин: основні задачі метатеорії

Розвиток методології економіко-математичного моделювання має довгу історію. Становлення двох по суті різних наукових дисциплін - економіки і математики - протягом багатьох століть проходило по власних законах, що відображали природу цих дисциплін, і одночасно стикались один з одним.

Вживання математичних методів в дослідженні зовнішньополітичних процесів є привабливим науковим інструментарієм. Ідея вивчати явище по його образу (моделі) властива не тільки політиці. Ця ідея давно і грунтовно знайшла своє вживання в різних областях наукового знання.

Погоджувати результати політичних досліджень, одержаних по різних системах індикаторів, можна таким чином. Системи індикаторів є різними підмножинами якоїсь однієї універсальної множини, яка, очевидно, нескінченна. Кожна задача аналізу ситуації з фіксованим набором індикаторів відповідає вибору деякої кінцевої (фінітного) підмножини з вказаного універсуму.

Залежно від виду цього універсуму виникають три основні моделі:

1. Як початковий універсум береться деяка кінцева множина. Тоді кожній підсистемі показників відповідає деяка підмножина, що є носієм всіх функцій, визначених на цій підмножині (і рівних нулю зовні нього). Політичний об'єкт, що характеризується у вибраній системі показників, є фінітною функцією, визначеною на деякій підмножині універсуму. Разом з цією функцією можна розглядати її дискретне перетворення Фур’є. Можливий і подвійний підхід - кожній такій функції може бути поставлений у відповідність дискретний ряд Фур’є, коефіцієнти якого рівні відповідним значенням функції.

2. Як початковий універсум вибирається відрізок прямою. Політичним об'єктам в цьому випадку відповідатимуть фінітні функції, визначені на відрізку. Виникаючі задачі можуть бути досліджені апаратом рядів Фур’є.

3. Нарешті, як початковий універсум береться вся речовинна. Властивості фінітних на прямій функцій можуть бути досліджені інтегралом Фур’є (або перетворенням Фур’є). В окремому випадку дискретного спектру виникають ряди по рахунковій множині нецілих показників - в цьому випадку застосуємо апарат майже періодичних функцій.

4. Більш окремі випадки, коли як початковий набір функцій допускаються лише лінійні (полілінійні) функції (функціонали), приводять до задач лінійної алгебри або тензорного аналізу.

Наукова основа пізнання соціально-економічної сфери полягає в аналізі Емпіричного матеріалу про поведінку цієї системи, що міститься в різних довідниках і світових класифікаторах. В різноманітті всіх видів відносин в соціальній сфері однією з якнайменше формалізованих є область політичних взаємостосунків між державами. Основний статистичний інструментарій - апарат аналізу чинника - запропонував разом з одиничними показниками (індикаторами) політичної поведінки держав на світовій арені розглядати більш вузьку сукупність нових показників - чинників, які є лінійною комбінацією початкових індикаторів. По суті справи, це означає розгляд нових показників, які проводяться у відповідність з підмножинами безлічі початкових показників. Такі нові показники, звані інакше „суперпроблемами”, можуть і мають бути змістовним чином інтерпретовані.

Безліч одиничних показників можуть бути доповнені системою додаткових показників - „суперпроблем” - до групи з операцією симетричної різниці. Політичний процес в цьому випадку описується відповідною функцією на групі „суперпроблем”, в яку входять одноелементні підмножини - початковий набір політичних індикаторів. Серед таких функцій виділяються найпростіші (основні), які і є своєрідним будівельним матеріалом для опису довільних функцій на групі, тобто довільних політичних процесів в значенні введеної відповідності. В теорії груп як такі найпростіші функції розглядаються мультиплікативні функції на групі. Тим самим політичний процес може бути охарактеризований через властивості його розкладання за системою мультиплікативних функцій, інакше званих характерами групи.

Однією з основних проблем при дослідженнях в соціальній сфері є проблема метрики, заходів близькості або „дистанцій” між об'єктами, що вивчаються. Різноманіття метрик, що використовуються, достатньо велике. Найпоширенішими є традиційна метрика Евкліда, а також метрики Мінковського і Хеммінга.

Перейдемо до строгих визначень.

Визначення 1. Підмножина безліч індексів тригонометричної системи або системи Уолша називається λ(р) - множиною для деякого р > 0, якщо для деякого q > р > 0 і для будь-якого полінома R(x) із спектром в Е справедлива нерівність:

де постійна С > 0 не залежить від вибору полінома R(x).

Задача побудови класу функцій, на якому відповідні метрики еквівалентні, зводиться тим самим до вивчення структури послідовностей Е.

Визначення 2. Множина G називається групою, якщо для будь-яких двох елементів а, b цієї множини однозначно визначений третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна операція, що позначається, наприклад, ) з наступними властивостями:

1.- асоціативність.

2.В G є елемент О, званий нулем, такий, що для будь-якого елемента a із G справедлива рівність .

3.Для кожного елемента а існує протилежний (зворотний) елемент –а такий, що .

Групи, для яких для будь-кого а, в із G, називаються комутативними (або абелевими) групами. Нижче ми обмежимося розглядом лише абелевих груп. Прикладом некомутативної групи є, наприклад, група підстановок кінцевої множини, або група лінійних перетворень евклідова простору. Разом з групою підмножин кінцевої множини (індикаторів) ми розглянемо також кінцеву циклічну групу і групу дійсних чисел відрізка [0, 2л] з операцією складання по модулю 2тс.

Визначення 3. Симетричною різницею множин А і В (позначається ) називається така множина З, яке складається з елементів, що належать рівно одній з множин А і В. Легко бачити, що .

Визначення 4. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначна відповідність φ між цими групами, яка зберігає групову операцію, тобто для будь-кого а, в G .

Визначення 5. Лінійним простором Е над полем з двох елементів (0, 1) називається безліч всіх n - рядків () з покоординатним складанням модулю 2, де () рівні 0 або 1.

Добре відомо, що група підмножин початкової кінцевої множини по операції симетричної різниці ізоморфна, як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо також, що в такому середовищі можна ввести другу операцію - множення - певним чином злагоджену зі складанням, внаслідок чого подібна структура називається ще кінцевим полем, або полем Галуа (на ім'я видатного французького математика Еваріста Галуа, що застосував їх властивості для вирішення питання про можливості розв’язання рівнянь алгебри в радикалах).

Основна ідея аналізу - апроксимація функцій довільної природи Битвами, що складаються з функцій більш простої природи. Вона реалізується за рахунок вибору як основний набір системи мультиплікативних функцій.