А.П.Мустафаев
Семипалатинский
государственный университет имени Шакарима
Общие решения уравнения смешанного типа зависящее от конечного числа
постоянных
Встречающиеся в
приложениях в частных производных уравнений, как правило имеет целые семейство
решений, причем в некоторых случаях можно указать способ их получения.
Если из постановки
задачи известно, что искомая функция зависит только от одной линейной
координаты то решение такой задачи сводится к интегрированию обыкновенного
дифференциального уравнения. Общее решение такого уравнения содержит несколько
произвольных постоянных, для определения которых надо использовать граничные
условия и условия регулярности.
В этой работе покажем
способ построения частного вида общего решения уравнения смешанного типа второго
порядка вида
(1)
с использованием основных свойств
характеристик, позволяющий сразу проинтегрировать уравнения. Для которого есть линия
параболического выражения, где -
натуральное число.
Нетрудно видеть что
выражения
, (2)
- суть характеристики уравнения (1)
при и
, (3)
при
Тогда вводя вместо ,
новую переменную зависящее от характеристики
. (4)
Уравнения (1) приводится к
дифференциальному уравнению вида
(5)
Решая
полученные уравнения и переходя к старым переменным получим частный вид общего
решения уравнения (1) зависящие от произвольных постоянных и
.
(6)
На линии параболического
выражения для найденного решения выполняются условия «склеивания»
. (7)
С другой стороны
полученные решения позволяют легко найти частные виды общих решению уравнении
при
, (8)
, (9)
при
(10)
(11)
и т.д.
Нетрудно проверить
непосредственным дифференцированием что полученные выражения (6), (9), (11)
действительно является решением соответственно уравнений (1), (8), и (10).
Литература:
1.
М.М.Смирнов.
Уравнения смешанного типа. – М:, «Наука» 1970 г. 295 с.
2.
А.Б.
Бицадзе. Некоторые классы уравнения в частных производных. – М:, «Наука» 1981 г.
448 с.
3.
А.П.Мустафаев.
Об одном методе нахождения элементарного решения уравнения Трикоми. «Современный
научный вестник» №30 2008, 32-35 стр. Серия технические науки, математика,
информатика. г. Белград (Россия).