Курлапов
Л.И.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОТКРЫТЫХ МНОГОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ В СИЛОВЫХ ПОЛЯХ
Классическое описание благодаря наглядности
оказывается полезным как на практике при конструировании новых устройств, так и
для выяснения физической сущности наблюдаемых явлений. В настоящем сообщении
такое описание применено к системам, состоящим из многих частиц: к молекулярному
газу, к молекулярно-кластерной смеси и к электронам в металле. Общность таких
систем заключается в том, что процессы в них определяются движением и
взаимодействиями частиц, из которых они состоят – структурных элементов. На
движение частиц существенное влияние оказывает внешнее силовое поле, в котором
находится вся система, и система становится неоднородной. Такая неоднородность
вместе с неоднородностями, вызванными градиентами температуры и/или давления
приводит к существованию наблюдаемого потока частиц.
Особенность излагаемого описания состоит в том, что
локальное равновесие в определённом домене (элементарном объёме) рассматривается
как следствие динамического равновесия потоков. В силовых полях дрейфовая
составляющая наблюдаемого потока частиц создается их ускоренным движением на
пути свободного пробега. В общем случае наблюдаемый поток частиц состоит из
дрейфовой составляющей, из диффузионной и конвективной составляющих.
Особенности этих составляющих можно учесть в рамках модели неоднородной
сплошной среды, в которой в условиях локального термодинамического равновесия
среда разбивается на локально-равновесные домены постоянной конфигурации, но
переменного состава. Диффузия, как и другие необратимые процессы
(теплопроводность, вязкость, электропроводность), представляет собой разностный
эффект перехода частиц из одного домена в соседний через границу, в которой
выделяется контрольная площадка. Конвекция связана с движением домена, а
силовой дрейф связан с ускоренным движением частиц на пути свободного пробега. Приход
частиц в рассматриваемый домен и выход из него позволяет рассматривать его в
качестве элементарной модели открытой системы. Такая наглядная модель позволяет
в описании процессов использовать средства кинетической теории газов.
Кинетическое уравнение, в котором возможно учесть
такие особенности процессов в неоднородных системах многих частиц представляет
собой уравнение Больцмана, в котором в интеграле столкновений для полевых
частиц записываются локально равновесные функции распределения. В
многокомпонентной смеси такое уравнение имеет вид [1; 2]:
, (1)
где ,
– неравновесная функция распределения тестовых частиц компонента
многокомпонентной смеси
до и после столкновения соответственно,
– локально-равновесная
функция распределения полевых частиц,
– скорость полевых
частиц,
– ускорение частиц
массой
под действием внешней
силы,
,
– величины,
определяющие геометрию столкновений тестовых частиц с полевыми.
Решение этого уравнения дает выражения для времен
свободного пролёта и длин свободного пробега, через которые определяются
коэффициенты переноса и силовой дрейф частиц. Применение этих формул к
электронному газу позволяет получить формулу для подвижности и для времени
свободно пролёта электронов в виде:
, (2)
где – время свободного
пролёта электронов в проводнике в первом приближении кинетической теории (в
данном случае роль тестовых частиц играют электроны),
– парциальная
числовая плотность электронов как компонента
смеси,
– безразмерные интегралы столкновений.
В рамках данной модели необратимая составляющая потока
частиц компонента смеси, связанная с пересечением ими границ доменов,
определяется как момент от неравновесной функции распределения:
. (3)
Скорость конвекции как скорость обратимого движения
определяется локально-равновесной частью функции распределения:
. (4)
– скорость
упорядоченного движения (конвекции),
Наблюдаемый поток частиц компонента под номером (строго говоря,
поверхностная плотность потока, которая по традиции обычно называется просто
потоком по аналогии с тем, как плотность вероятности обычно называют функцией
распределения) можно представить в виде суммы его составляющих:
, (5)
,
где – истинный
коэффициент диффузии,
– коэффициент
термодиффузии.
В одномерном случае для газа в силовом поле выражение для
потока дает следующее уравнение для составляющей градиента числовой плотности:
. (6)
В изотермических условиях это уравнение можно привести к
безразмерному виду, выбрав в качестве масштаба числовую плотность,
соответствующую началу координат, , и размер устройства
– в качестве масштаба
длины:
, (7)
где ;
;
;
.
Уравнение (7) имеет достаточно общий характер: оно
применимо для описания многочастичных систем, причем член соответствует
наблюдаемому потоку, что позволяет описывать открытые для обмена частицами
системы. В случае закрытых систем решение этого уравнения даёт известные
распределения частиц по координате. При описании системы частиц в поле силы
тяжести решение совпадает с известной барометрической формулой, а при описании
газа в поле центробежных сил (в замкнутой центрифуге) – также с известным распределением.
Так как уравнение (7) получено на основе баланса различных составляющих
наблюдаемого потоков, то оно описывает и открытые системы. На рисунке 1
приведены результаты решения для молекулярного аргона в центрифуге в виде
вращающейся трубки с отбором газа.
Как видно из рисунка 1, в зависимости от скорости на
входе и выходе из трубки внутри неё устанавливается определенное распределение
частиц по осевой координате, которая в данном случае направлена от периферии к
оси вращения. Этот факт можно использовать на практике для выбора наиболее
эффективного разделения смесей газов [3]. В кластерной модели реальных газов [4]
каждый газ рассматривается как молекулярно-кластерная смесь, поэтому
определённый интерес представляет рассмотрение поведения такой смеси в
центрифуге.
Рисунок 1 – Открытая система в виде молекул аргона в
центрифуге при различных скоростях отбора частиц
На рисунке 2 приведены графики зависимости сдвига
относительной числовой плотности кластеров в виде димеров () и тримеров (
) относительно молекул от осевой координаты в центрифуге для
аргона. На этом рисунке сплошные линии соответствуют распределениям в закрытой
трубке (
), пунктирные линии – при различных значениях
.
Рисунок 2 – Разность относительных концентраций
молекул и кластеров в различных сечениях вращающейся трубки
при различных скоростях отбора газа
Из рисунка 2 видно, что в центрифуге наблюдается
разделение молекулярно-кластерной смеси на кластерные субкомпоненты, причём,
максимум сдвиг концентраций соответствует определённой осевой координате (в
данном случае – при координате 39 см). Хотя эти данные получены при некоторых
упрощающих условиях, они достаточно хорошо отражают физику явлений.
На рисунке 2 приведены относительные концентрации
субкомпонентов. Чтобы приблизить эти данные к реальной системе, на рисунке 3
приведены результаты расчётов концентраций различных кластеров в аргоне при
температуре 200 К и при различных давлениях. Расчёты проведены по схеме работ [2;
4].
Рисунок 3 – Распределение концентраций кластеров по
размерам в числах входящих в них молекул
При классическом описании
свободные электроны в проводниках рассматриваются как электронный газ. Применение
кинетического описания к этому газу в виде соотношения (5) и уравнения (7), в
которых компонентом являются электроны,
позволяет рассчитывать плотность электрического тока
, подвижность электронов
, удельную проводимости
и удельное
сопротивление
по формулам:
, (8)
;
;
;
,
где – парциальная
числовая плотность ионов,
– потенциал
электрического поля.
Расчёты удельной
проводимости меди по этим формулам приведены на рисунке 4, на котором точками и
пунктирной линией показаны справочные данные [5], сплошной линией – расчёты.
Рисунок 4 – Температурная зависимость удельного
сопротивления меди
Как видно из рисунка 4, классическое описание
позволяет достаточно хорошо описать температурную зависимость удельного
сопротивления металла. Из других данных следует, что применение его к другим
многочастичным системам позволяет получать новые результаты.
Литература
1
Курлапов Л.И. Описание
диффузии газов умеренной плотности на основе уравнения Больцмана-Лоренца-Энскога
// ЖТФ.-1986.-Т.56, №2.- С.386-388.
3
Харитон Ю. Б. К вопросу
о разделении газов центрифугированием // ЖТФ.- 1937.- Т. 7. -№ 14. – С.
1476-1478.
4
Курлапов Л.И. Кластерная
модель газа // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 2. – С 51-55.
5
Таблицы физических
величин. Справочник под ред. акад. И.К. Кикоина. – М.: Атомиздат, – 1976. –
1008 с.
The Summary
L.I. Kurlapov – lkurlapov@yandex.ru
CLASSIC
DESCRIPTIONS OF THE OPEN
MULTIPARTICLE
SYSTEMS IN FIELD FORCES
The classical description based on the resolve of the kinetic equation
applicable to such multiparticle systems as molecular gas, molecular-cluster mixture of a gas,
system of the free electrons in metal is shown.