Курлапов Л.И.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОТКРЫТЫХ МНОГОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ В СИЛОВЫХ ПОЛЯХ

Классическое описание благодаря наглядности оказывается полезным как на практике при конструировании новых устройств, так и для выяснения физической сущности наблюдаемых явлений. В настоящем сообщении такое описание применено к системам, состоящим из многих частиц: к молекулярному газу, к молекулярно-кластерной смеси и к электронам в металле. Общность таких систем заключается в том, что процессы в них определяются движением и взаимодействиями частиц, из которых они состоят – структурных элементов. На движение частиц существенное влияние оказывает внешнее силовое поле, в котором находится вся система, и система становится неоднородной. Такая неоднородность вместе с неоднородностями, вызванными градиентами температуры и/или давления приводит к существованию наблюдаемого потока частиц.

Особенность излагаемого описания состоит в том, что локальное равновесие в определённом домене (элементарном объёме) рассматривается как следствие динамического равновесия потоков. В силовых полях дрейфовая составляющая наблюдаемого потока частиц создается их ускоренным движением на пути свободного пробега. В общем случае наблюдаемый поток частиц состоит из дрейфовой составляющей, из диффузионной и конвективной составляющих. Особенности этих составляющих можно учесть в рамках модели неоднородной сплошной среды, в которой в условиях локального термодинамического равновесия среда разбивается на локально-равновесные домены постоянной конфигурации, но переменного состава. Диффузия, как и другие необратимые процессы (теплопроводность, вязкость, электропроводность), представляет собой разностный эффект перехода частиц из одного домена в соседний через границу, в которой выделяется контрольная площадка. Конвекция связана с движением домена, а силовой дрейф связан с ускоренным движением частиц на пути свободного пробега. Приход частиц в рассматриваемый домен и выход из него позволяет рассматривать его в качестве элементарной модели открытой системы. Такая наглядная модель позволяет в описании процессов использовать средства кинетической теории газов.

Кинетическое уравнение, в котором возможно учесть такие особенности процессов в неоднородных системах многих частиц представляет собой уравнение Больцмана, в котором в интеграле столкновений для полевых частиц записываются локально равновесные функции распределения. В многокомпонентной смеси такое уравнение имеет вид [1; 2]:

, (1)

где , – неравновесная функция распределения тестовых частиц компонента многокомпонентной смеси до и после столкновения соответственно,

– локально-равновесная функция распределения полевых частиц,

– скорость полевых частиц,

– ускорение частиц массой под действием внешней силы,

, – величины, определяющие геометрию столкновений тестовых частиц с полевыми.

Решение этого уравнения дает выражения для времен свободного пролёта и длин свободного пробега, через которые определяются коэффициенты переноса и силовой дрейф частиц. Применение этих формул к электронному газу позволяет получить формулу для подвижности и для времени свободно пролёта электронов в виде:

, (2)

где – время свободного пролёта электронов в проводнике в первом приближении кинетической теории (в данном случае роль тестовых частиц играют электроны),

– парциальная числовая плотность электронов как компонента смеси,

– безразмерные интегралы столкновений.

В рамках данной модели необратимая составляющая потока частиц компонента смеси, связанная с пересечением ими границ доменов, определяется как момент от неравновесной функции распределения:

. (3)

Скорость конвекции как скорость обратимого движения определяется локально-равновесной частью функции распределения:

. (4)

– скорость упорядоченного движения (конвекции),

Наблюдаемый поток частиц компонента под номером (строго говоря, поверхностная плотность потока, которая по традиции обычно называется просто потоком по аналогии с тем, как плотность вероятности обычно называют функцией распределения) можно представить в виде суммы его составляющих:

, (5)

,

где – истинный коэффициент диффузии,

– коэффициент термодиффузии.

В одномерном случае для газа в силовом поле выражение для потока дает следующее уравнение для составляющей градиента числовой плотности:

. (6)

В изотермических условиях это уравнение можно привести к безразмерному виду, выбрав в качестве масштаба числовую плотность, соответствующую началу координат, , и размер устройства – в качестве масштаба длины:

, (7)

где ; ; ; .

Уравнение (7) имеет достаточно общий характер: оно применимо для описания многочастичных систем, причем член соответствует наблюдаемому потоку, что позволяет описывать открытые для обмена частицами системы. В случае закрытых систем решение этого уравнения даёт известные распределения частиц по координате. При описании системы частиц в поле силы тяжести решение совпадает с известной барометрической формулой, а при описании газа в поле центробежных сил (в замкнутой центрифуге) – также с известным распределением. Так как уравнение (7) получено на основе баланса различных составляющих наблюдаемого потоков, то оно описывает и открытые системы. На рисунке 1 приведены результаты решения для молекулярного аргона в центрифуге в виде вращающейся трубки с отбором газа.

Как видно из рисунка 1, в зависимости от скорости на входе и выходе из трубки внутри неё устанавливается определенное распределение частиц по осевой координате, которая в данном случае направлена от периферии к оси вращения. Этот факт можно использовать на практике для выбора наиболее эффективного разделения смесей газов [3]. В кластерной модели реальных газов [4] каждый газ рассматривается как молекулярно-кластерная смесь, поэтому определённый интерес представляет рассмотрение поведения такой смеси в центрифуге.

Рисунок 1 – Открытая система в виде молекул аргона в центрифуге при различных скоростях отбора частиц

На рисунке 2 приведены графики зависимости сдвига относительной числовой плотности кластеров в виде димеров () и тримеров () относительно молекул от осевой координаты в центрифуге для аргона. На этом рисунке сплошные линии соответствуют распределениям в закрытой трубке (), пунктирные линии – при различных значениях .

Рисунок 2 – Разность относительных концентраций молекул и кластеров в различных сечениях вращающейся трубки

при различных скоростях отбора газа

Из рисунка 2 видно, что в центрифуге наблюдается разделение молекулярно-кластерной смеси на кластерные субкомпоненты, причём, максимум сдвиг концентраций соответствует определённой осевой координате (в данном случае – при координате 39 см). Хотя эти данные получены при некоторых упрощающих условиях, они достаточно хорошо отражают физику явлений.

На рисунке 2 приведены относительные концентрации субкомпонентов. Чтобы приблизить эти данные к реальной системе, на рисунке 3 приведены результаты расчётов концентраций различных кластеров в аргоне при температуре 200 К и при различных давлениях. Расчёты проведены по схеме работ [2; 4].

Рисунок 3 – Распределение концентраций кластеров по размерам в числах входящих в них молекул

При классическом описании свободные электроны в проводниках рассматриваются как электронный газ. Применение кинетического описания к этому газу в виде соотношения (5) и уравнения (7), в которых компонентом являются электроны, позволяет рассчитывать плотность электрического тока , подвижность электронов , удельную проводимости и удельное сопротивление по формулам:

, (8)

; ; ; ,

где – парциальная числовая плотность ионов,

– потенциал электрического поля.

Расчёты удельной проводимости меди по этим формулам приведены на рисунке 4, на котором точками и пунктирной линией показаны справочные данные [5], сплошной линией – расчёты.

Рисунок 4 – Температурная зависимость удельного сопротивления меди

Как видно из рисунка 4, классическое описание позволяет достаточно хорошо описать температурную зависимость удельного сопротивления металла. Из других данных следует, что применение его к другим многочастичным системам позволяет получать новые результаты.

Литература

1 Курлапов Л.И. Описание диффузии газов умеренной плотности на основе уравнения Больцмана-Лоренца-Энскога // ЖТФ.-1986.-Т.56, №2.- С.386-388.

2 Курлапов Л.И. Физика кинетических явлений в газах. Монография. – Алматы, – 2001. 211 с. ISBN 9965-489-81-5.

3 Харитон Ю. Б. К вопросу о разделении газов центрифугированием // ЖТФ.- 1937.- Т. 7. -№ 14. – С. 1476-1478.

4 Курлапов Л.И. Кластерная модель газа // ЖТФ. – 2003. – Т. 73, вып. 2. – С 51-55.

5 Таблицы физических величин. Справочник под ред. акад. И.К. Кикоина. – М.: Атомиздат, – 1976. – 1008 с.

The Summary

L.I. Kurlapov – lkurlapov@yandex.ru

CLASSIC DESCRIPTIONS OF THE OPEN

MULTIPARTICLE SYSTEMS IN FIELD FORCES

The classical description based on the resolve of the kinetic equation applicable to such multiparticle systems as molecular gas, molecular-cluster mixture of a gas, system of the free electrons in metal is shown.