Щербань Ю.В.

Науковий керівник: Щетініна О.К.

Донецький державний університет економіки і торгівлі

ім. М.Туган-Барановського, Україна

ЕКОНОМІЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ДВОЇСТОЇ ЗАДАЧІ

Економіко-математичне моделювання передбачає не тільки дослідження чисельного розв’язку оптимізаційних задач, а й їх якісний економіко-математичний аналіз. Методи якісного аналізу оптимізаційних моделей ґрунтуються на теорії двоїстості.

Кожній задачі лінійного програмування можна поставити у відповідність деяку іншу, спеціально побудовану задачу, яка називається двоїстою.

Економічний зміст двоїстої задачі полягає у тому, що визначити оптимальну систему двоїстих оцінок ресурсів у_і, використовуваних для виробництва продукції, для якої загальна вартість всіх ресурсів буде найменшою. При розв’язуванні реальних економічних задач вхідні дані, наприклад, запаси ресурсів, ціни на товар, що був отриманий за попередніми даними, перестає бути актуальним. Тому нагального стає задача дослідження впливу будь-яких змін моделі на оптимальний розв’язок.

Остаточний результат дослідження має дати відповідь на запитання, чи зміниться отриманий оптимальний розв’язок, і якщо так, то яким буде новий оптимальний план. Відносно попереднього оптимального плану можливі такі варіанти: план перестає бути допустимим або може стати неоптимальним. Аргументація відповіді ґрунтується на результатах обчислення з використанням співвідношень двоїстості. До недопустимості попереднього плану можуть призвести зміни запасів ресурсів (праві частини обмежень задачі лінійного програмування ) або введення додаткових умов щодо обсягів виробництва продукції, попиту тощо.

Попередній план може стати не оптимальним, якщо змінюються ціни на продукцію (коефіцієнти цільової функції), відбувається зміна технологічних процесів (ліва частина обмежень задачі лінійного програмування), а також коли розглядається можливість введення нового виду виробничої діяльності.

Розглянемо можливості аналізу економіко-математичних моделей на чутливість на прикладі задачі про рекламу.

З метою збільшення реалізації продукції фірма виділила на рекламу 2000 грн. Розглядається можливість надання реклами на радіо і телебаченні. Одна хвилина реклами на телебаченні коштує 100 грн., на радіо – 50 грн. Маркетингові дослідження свідчать про те, що кожна хвилина реклами на радіо сприяє збільшенню реалізації продукції фірми на 2%, на телебаченні – на 3%. Кількість хвилин реклами на радіо не повинна перевищувати рекламу на телебаченні більше ніж на 55 хвилин. Знайти оптимальний план замовлення реклами.

Нехай, х₁ – кількість хвилин реклами на радіо, а х₂ – на телебаченні. Оскільки рекламу замовляють з метою збільшення реалізації продукції фірми, то цільова функція означає кількість відсотків, на яку зросте реалізація, і цей показник має бути найбільшим. Цільова функція матиме вигляд:

Z = 2х₁ + 3х₂ → max

За умови не перевищення витрат на рекламу

50х₁ + 100х₂ ≤ 2000

Співвідношення між рекламою на радіо і на телебаченні

х₁ – х₂ ≤ 55

та умови невід’ємності змінних

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0

Приводимо завдання до канонічного вигляду, вводимо додаткові змінні і складаємо симплексні таблиці доки не знайдемо оптимального плану задачі. Остання симплексна таблиця має вид:

	Б	С	В	2	3	0	0
				А1	А2	А3	А4
7.	А1	2	40	1	2	0,02	0
8.	А4	0	15	0	-3	-0,02	1
9.	Z		80	0	1	0,04	0

Одержали оптимальний Х = (40;0;0;15), якому відповідає значення цільової функції Z max = 80%.

З економічної точки зору оптимальний план означає, що для одержання максимального рівня реалізації продукції фірми у розмірі 80% рекламу потрібно розмістити тільки на радіо в обсязі 40 хвилин.

Для проведення аналізу сформуємо двоїсту задачу:

-50у₁ – у₂ ≥-2000

-100у₁ + у₂ ≥-3

Min f = -2000у₁ – 55у₂

На основі даних останньої симплексної таблиці одержимо У=(0,04;0), F_min = 80.

Подвійним симплексним методом можна розв’язувати задачі лінійного програмування, системи обмежень яких при достатньому базисі містять вільні члени будь – якого знаку. Цей метод дозволяє зменшити кількість перетворень системи обмежень, а також розміри симплексної таблиці.

Література:

1. Ашманов С. А. Введення в математичну економіку. М.: Наука 2001.

2. Петров Е. Г., Новожилова М. В.. Методи і засоби прийняття рішень у

соціально – економічних системах: Навчальний посібник./ За ред. Е. Г.

Петрова. – К.: Техніка, 2004 – 256с.

3. Замков О. О., Товстопятенко А. В. Математичні методи в економіці:

посібник М.: Дис. 2007.