Математика / 5. Математическое моделирование

к.т.н. Коротеев С.В.

Восточно-Казахстанский государственный технический университет,

Казахстан

Оптимизационные модели распределения ограниченных ресурсов в терминах теории полезности

Одним из важных факторов свободных рыночных отношений является планирование экономической деятельности предприятий. В рыночных условиях действующие цены на все продукты и ресурсы свободно устанавливаются самими конкурирующими производителями и потребителями, а потому каждое предприятие или фирма самостоятельно определяют ассортимент и объемы выпускаемой продукции. Изменение ситуации на рынке должно оперативно отражаться на производственном плане. План должен быть гибким, легко приспосабливаемым к быстро изменяющейся рыночной среде. Постановка экономических задач, рациональное хозяйствование, сбалансированное и материально обеспеченное планирование требуют построения и исследования экстремальных моделей выбора решений по распределению различных ресурсов, которые обычно являются ограниченными.

Принять окончательное решение в общем случае не всегда представляется возможных, так как решение, в конечном счете, принимается в зависимости от двух основных аспектов: во-первых – это выбор политики и цели лица принимающего решение, а во-вторых – наличие ресурсов, определяющее область допустимых решений.

Если содержательные аспекты стратегий распределения ресурсов можно согласовывать, то их ресурсное обеспечение ограничено, а потому ресурсы могут распределяться только при условии введения отношения порядка. Для введения отношения порядка можно воспользоваться принципами выбора, например, эгалитаризм, утилитаризм, многовариантные компромиссы, гарантированный минимум, устойчивость в некотором определенном смысле, наискорейшее достижение требуемого уровня и другие.

Классическими принципами выбора в теории принятия кооперативных решений принято считать эгалитаризм и утилитаризм. Эгалитаризм – это стремление уравнять индивидуальные полезности агентов коалиции. Утилитаризм – это стремление максимизировать сумму индивидуальных полезностей.

Если решение о распределении ограниченных ресурсов принимается в условиях определенности, то есть процесс принятия решения характеризуется однозначной или детерминированной связью между принятым решением и его результатом. Главная трудность - это наличие нескольких критериев, по которым следует сравнивать результаты. Тогда возникает проблема принятия решений при так называемом векторном критерии оптимальности.

Назовем совокупность стратегий, удовлетворяющих ограничениям задачи распределения ограниченных ресурсов, множеством допустимых альтернатив А, из которых осуществляется выбор. В дальнейшем будем обозначать альтернативы через х и при необходимости будем указывать ограничения, которые их определяют.

Для сравнения различных альтернатив и выбора наилучшей из них сначала выбирают некоторое свойство (или совокупность свойств) оцениваемых альтернатив и строят ее количественную меру (оценку), по значениям которой можно сравнивать альтернативы между собой и выбрать наилучшую. Такая мера ценности, дающая возможность упорядочивать альтернативы, носит название функции полезности.

Тогда задачу распределения ограниченных ресурсов можно представить как задачу принятия коллективного решения на основе сопоставления допустимому решению вектора индивидуальных уровней полезностей, где u_i - полезность i-го агента. В данном случае агентом является некоторый вид ресурса или направление использования выбранного ресурса. При заданном множестве допустимых векторов полезностей кооперативное решение является результатом математического правила, которое выделяет один вектор в качестве выбора сообщества.

Эгалитарную функцию полезности можно представить в виде: .

Функция F_эг.(u) совпадает с уровнем полезности наименее удачливого агента. Приняв уровень полезности наименее удачливого агента за индекс коллективной полезности, мы не нарушаем принцип анонимности, так как в этом случае существует оптимальное по Парето решение в слабом смысле, которое является единственным оптимальным решением, выбираемым по критерию F_эг..

Эгалитаризму противостоит классический утилитаризм, который при сравнении вариантов выбора опирается на общее (суммарное) благосостояние сообщества (коалиции). Утилитаризм рассматривает индивидуальные полезности только как способ повышения общественного благосостояния и может пожертвовать интересами отдельного агента ради увеличения коллективной полезности. Отдельно взятый агент при этом рассматривается в виде некоторой единицы, производящей благосостояние. Отсюда, коллективное решение можно представить как максимизацию общей полезности коалиции при заданных физических ограничениях.

Классическая утилитарная функция полезности записывается в следующем виде:

Утилитарная программа принятия решения состоит в максимизации функции F_ут.(u) на множестве допустимых векторов полезностей. Она согласуется с принципом единогласия: любой вектор полезностей, максимизирующий F_ут.(u) функцию на допустимом множестве, будет оптимальным по Парето.

Назовем внешней устойчивостью следствие наиболее максимальных выигрышей от кооперации. Из этого предложения следует, что эгалитаризм дает внутреннюю устойчивость: никто из агентов коалиции не чувствует себя ущемленным, если выигрыш делиться поровну между равноправными агентами данной коалиции; но при этом не обращается внимание на внешнюю устойчивость: для уравнивания долей выигрыша эгалитаризм готов даже уменьшить долю каждого агента коалиции до такой степени, что от кооперативного выигрыша практически ничего не остается. Классический же утилитаризм идет противоположным путем: он максимизирует суммарный выигрыш от кооперации, гарантируя тем самым внешнюю устойчивость, но полностью игнорируя внутреннюю. Таким образом, такие принципы выбора как эгалитаризм и утилитаризм в чистом виде не могут быть единственными, так как при длительном их применении влекут за собой тяжелые последствия — социально-экономические кризисы. А потому целесообразно предусмотреть возможность многовариантного компромиссного выбора, составляющими которого являются эгалитаризм и утилитаризм.

Для множества допустимых альтернатив решений по распределению ограниченных ресурсов будут выполняться следующие свойства.

1. Результат (альтернатива) оказывается предпочтительнее альтернативы (что записывается как ), тогда и только тогда, если , где , - полезности альтернатив и соответственно.

2.Транзитивность: если , а , то и

3.Линейность: если некоторый результат можно представить в виде , где , то

4. Адитивность: если - полезность от достижения одновременно результатов и , то свойство адитивности функции записывается как

5. Аналогично, если имеем n результатов , достигаемых одновременно, то .

Знаки при сравнении значений целевых функций для различных альтернатив берутся в зависимости от того, считается ли альтернатива лучшей при большем или меньшем значении целевой функции.

Целевые функции и , характеризующие одно и то же свойство выбираемого решения и определенные на одном множестве альтернатив, принято называть эквивалентными, если они определяют на нем одно и то же отношение слабого предпочтения , то есть если для двух произвольных альтернатив и из следует, что , и наоборот. Здесь индекс над знаками слабого предпочтения указывает на функцию, с помощью которой задается это отношение. Из данного определения следует, что эквивалентные целевые функции определяют на множествах А те же самые отношения строгого предпочтения и эквивалентности.

Тогда справедливо следующее утверждение. Для того чтобы целевые функции и были эквивалентными, достаточно, чтобы существовало такое монотонное преобразование , переводящее область значений функции в область значений функции так, что для всего множества допустимых альтернатив. При этом, если обе целевые функции максимизируются, то преобразование должно быть монотонно возрастающей функцией, а если нет, то монотонно убывающей функцией.

Действительно, если критерии максимизируются (а при распределении ограниченных ресурсов основной целевой функцией является максимизация полезности от распределения и использования ограниченного ресурса) и - монотонно возрастающее преобразование (так как другие случаи доказываются аналогично). Тогда, если , то есть , то , а значит, . Утверждение следует из в силу монотонности обратного преобразования.

Принцип выбора считается эффективным, если он выбирает эффективное коллективное решение a(u)ÎА для всех истинных функций полезности u, т.е. если выполняется условие: ; i =1,2,...,n.

Заметим, что эффективный и допустимый механизм выбора может привести к бюджетному избытку, а, следовательно, к потере первоначальной оптимальности по Парето, что говорит о необходимости индивидуального подхода к каждой конкретной рассматриваемой задаче.

Если агентами в процессе принятия решений по распределению ограниченных ресурсов являются эксперты, специалисты, руководители подразделений и другие лица, принимающие решение, то для построения функции полезности, являющейся целевым функционалом оптимизационной задачи встает вопрос агрегирования индивидуальных функций полезности и предпочтений каждого агента. Рассмотрим возможность агрегирования предпочтений с позиций отдельно взятого лица (например, руководителя предприятия), принимающего решение.

В этом случае для выбора лучшей альтернативы распределения ресурсов в условиях полной определенности достаточно построить функцию полезности лица принимающего решение, обозначаемого v, для последствий x принимаемого решения. Если через V₁, V₂, …, V_N обозначим N критериев, оценки по которым выражаются с помощью функций полезности экспертов v₁, v₂, …, v_N, тогда задача агрегирования сведется к исследованию функции

,

здесь v и v_D – функции полезности лица, принимающего решение, в условиях определенности. Представление основано на ряде допущений.

Во-первых, предпочтение лица, принимающего решение, для последствий x полностью характеризуется при помощи функций v_i, при соответствующим образом выбранных шкалах. Так как каждая из функций v_i определяется с точностью до положительного монотонного преобразования, то прежде чем приступать к сравнениям индивидуальных полезностей, нужно нормализовать шкалы, используемые для их измерения.

Во-вторых, для всех i структура предпочтений отдельных индивидов полностью определяется функцией v_i.

В-третьих, v(x) содержит в себе допущение, что лицо, принимающее решение, знает функции v_i, иначе данная задача стала неопределенной.

Для выбора лучшей альтернативы в условиях неопределенности нам потребуется функция полезности лица, принимающего решение, которую обозначим u для последствий x. Обозначим через U₁, U₂, …, U_N критерии, по которым выражается с помощью функций полезности индивидов u₁, u₂, …, u_N. При рассмотрении «чистой» модели принятия решения в условиях неопределенности стравится задача нахождения подходящего вида функции u_D, такой что

,

где u, u_D – функции полезности лица, принимающего решение.

Эта модель позволяет нам рассматривать агрегирование индивидуальных предпочтений как некоторую задачу нечеткого математического программирования, что позволит нам построить некоторую групповую функцию полезности, агрегируя индивидуальные предпочтения строить коллективную функцию полезности.