Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Докторант PhD, к.ф.-м.н. Оспанова А.Б.

Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, Казахстан

Об устойчивости одной приближенной схемы для сингулярной задачи Коши

В работе рассматривается одна модель приближенной схемы (разностной схемы) для численного решения задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка с сингулярностью на бесконечности.

Пусть дана краевая задача Коши

(1)

где – непрерывная в функция такая, что для всех и

(2)

Целью настоящей работы является построение приближенной схемы для численного решения уравнения (1). Следующие определения взяты из [1].

Пусть , – банаховы пространства, – пространство всех непрерывных линейных операторов, действующих из в . Пусть – оператор из в .

Приближенной схемой уравнения

(3)

называют последовательность уравнений

(4)

где , () – банаховы пространства, связанные с () посредством операторов ().

Через () будет обозначаться область определения оператора ().

Существенное значение в сходимости приближенной схемы (4) имеет свойство устойчивости данной схемы.

Будем говорить, что приближенная схема (4) устойчива, если существуют постоянная и целое такие, что

(5)

Ниже через , будут обозначаться пространство непрерывных на функций таких, что

пространство функций , имеющих в непрерывную производную . В зададим норму

Пусть – пространство Лебега с нормой

Пусть – пространство всех , имеющих в абсолютно непрерывную производную и таких, что

Обозначим через пополнение по норме . Уравнение (1) запишем в операторной форме (3), где возьмем

(6)

Оператор в (6) рассматриваем как оператор из в , где . Норма в ()

Область определения .

Построение приближенной схемы

Нетрудно показать, что удовлетворяет условию

В силу этого следующая функция Отелбаева

конечна, а – непрерывная, положительная и ограниченная на функция. Имеет место характеристическое равенство

(7)

См. [2]. Положим . Возьмем некоторое достаточно малое и пусть

Устроим дизъюнктное покрытие отрезка промежутками , где , . Для этого возьмем целые , такие, что . Каждому соотнесем равномерную сетку , , , , (). Пусть (). Мы будем привлекать векторные арифметические пространства , , с нормами

соответственно

Пусть . Норма

Для положим

Далее, пусть с нормой

Для положим

Пусть , , – операторы, заданные равенствами

(8)

где

(9)

где

(10)

(11)

(12)

О свойствах приближенной схемы

Будем говорить, что функция удовлетворяет условию медленного изменения (относительно характеристического размера ), если существуют такие , что

() как только .

с абсолютной постоянной . См. [3].

Будем говорить, что вложено в , если и для всех .

Утверждение. А) Пусть удовлетворяет условию (). Тогда .

Б) Пусть удовлетворяет условию (). Тогда вложено в .

В) Оператор .

Г) Оператор .

Здесь использованы известные неравенства (вложения Соболева):

(13)

Теорема. Пусть выполнено условие () и пусть – оператор, заданный равенствами (9)-(12). Тогда приближенная схема (4) с правой частью устойчива.

Литература:

1. Треногин В.А. Функциональный анализ. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 488 с.

2. Отелбаев М., Кусаинова Л. К. Оценки спектра одного класса дифференциальных операторов // Збірник праць Інституту математики НАН України Теорія операторів, диференціальні рівняння і теорія функцій. – Київ, 2009. – Т. 6. – № 1. – С. 165-190.

3. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – 3-е изд. – М.: Наука, 1988. – 336 с.