Лебедев В.А.

Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск, Россия

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ, ПОВЕРХНОСТИ РАВНОЙ ОСВЕЩЕННОСТИ И ПОДВИЖНЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ В ЦЕНТАЛЬНОМ ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ

Одна из основных трудностей в исследовании теплообмена излучением – это учет геометрических соотношений в излучающих системах. Зависимость от геометрии математически выражается в интегрировании потока результирующего излучения по поверхностям конечных размеров, участвующих в теплообмене. Полезно иметь как можно больше справочных данных в целях учета этих геометрических соотношений для наиболее часто встречающихся геометрических конфигураций, чтобы избежать повторной процедуры интегрирования. Наиболее полно, хотя и не вполне достаточно, такие данные для стабильных излучающих систем собраны в работах [1,2]

Данная работа является продолжением исследования свойств векторных полей нестационарных, подвижных излучающих систем. Продолжение работы по исследованию известных и выявлению новых геометрических инвариантов излучения представляет практический интерес и способствует пополнению нынешнего набора справочных данных по угловым коэффициентам излучения, устраняющих наиболее трудоемкую и часто приводящую к ошибкам часть инженерных расчетов.

Известно, что видимая яркость (интенсивность, светимость) излучателя с постоянной плотностью излучения не зависит от расстояния его от наблюдателя, т.к. и поток энергии излучения, падающий на фиксированную площадку (фотоэлемент, телескоп, глаз человека), и видимая площадь излучателя – обратно пропорциональны квадрату расстояния, т.е. видимая яркость излучателя остается неизменной при взаимном перемещении элементов излучающей системы. Определенный интерес представляет также и условия неизменной освещенности элемента облучаемой поверхности при перемещении источника излучения.

Предположим, сферический источник излучения, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с рассматриваемыми в дальнейшем векторами и площадями, переместился по оси Ох из точки О в точку на расстояние l, рис.1. При этом исследуется уровень заданной освещенности элементарной площадки дА на оси Ох на расстоянии R от О и R ± l от . Для точки О площадка дА расположена на сферической поверхности равной освещенности (уровне равного потенциала) с радиусом R, а для точки – на эквипотенциальной сферической поверхности с радиусом = R ± l. Плотность падающего излучения на обе сферические поверхности одинакова, что возможно лишь при различной плотности потоков, исходящих из О и .

Рассмотрим радиус-векторы, входящие в описание векторного поля с переменными координатами источника (стока) векторов. Если радиус-вектор R сферы состоит из двух отрезков: f(Х,Y,Z) и l(,,), то его проекции записываются в виде Х + , Y +, Z + , причем |R| = |f(Х + , Y +, Z + )| = |(L,M,N)|, f = + l, где (L,M,N)R. Можно записать:

а отсюда после суммирования этих выражений:

(1)

Поскольку производные по координатам от векторов фиксированного направления не зависят от длины вектора, то для данного случая, когда |R| = | + l| = |(L,M,N)|, выполняются условия

(2)

и справедливы выражения div(XYZ)= 0, div(L,M,N) = 0,

как для сферы c радиусом R, так и для сфер с радиусами R ± l.

Покажем, что (2) справедливо и в случае, когда l фиксировано, а вектор с модулем ||| может принимать любое положение как радиус сферы с центром в конце вектора l. При этом вектор с модулем ||R| является радиусом сферы с центром в начале координат О. В этом случае можно записать и т.д. Но при этом , и т.д., т.е. здесь при k ≠ i.

Тогда и т.д. Отсюда легко следует справедливость выражения (2) для двух сфер, из которых меньшая лежит внутри большей, касаясь ее в одной точке.

Рассмотрим теперь векторное поле такой излучающей системы в движении, когда растут отрезки l (движение с постоянной скоростью точки – источника векторного потока), (рост с постоянной скоростью эквипотенциальной сферической поверхности с уменьшающейся освещенностью) и (рост с постоянной скоростью V радиуса внешней (большей) сферической поверхности; eе освещенность в точке касания с внутренней эквипотенциальной сферой равна освещенности малой сферы). Геометрически такая система сохраняет подобие самой себе во времени. Подобным образом описывается и распространение фронта волны от источника (стока) в сплошной среде со свойствами идеальной слабо сжимаемой жидкости.

Как показано выше, радиус-вектор R можно рассматривать в виде сумм двух отрезков + l с проекциями (Х + , Y +, Z + ), причем || = |(Х + , Y +, Z + )| = |(L,M,N)|, || = |(, , )| = | (L,M,N)|, . Следовательно, здесь справедливо уравнение (1)

, (3)

которое при R(xyz) = Vt переходит в

(4)

или в уравнение

, (5)

описывающее поведение ортогональных векторов, связанных с поверхностью расширяющейся эквипотенциальной (равной освещенности) сферической поверхности.

Учитывая сказанное и используя выражения для скорости движения точки относительно О и скорости , получаем при величине плотности ρ точечного источника векторного потока значение величины векторного потока uρ и напряженность векторного поля, записанную в виде Е = ρf(ХУZ). Но тогда перпендикулярный вектору Е вектор f(LMN) может считаться вектором напряженности векторного поля Н. Поскольку производные по координатам от векторов определенного направления не зависят от длины вектора, то выполняющиеся для данного случая условия и уравнение (2) позволяют записать

или

, (6)

а из (5) следует

. (7)

При расширении сферы величине div f(XYZ), определяющей поток вектора f(XYZ) сквозь фиксированную сферическую поверхность, можно придать ненулевое значение, которому в свою очередь можно поставить в соответствие плотность источника векторного поля, расположенного в центре . Каждому вектору f(XYZ) соответствует множество векторов . Сумма всех векторов f(LMN) равна нулю. Свойства этих векторов позволяют к полученным уравнениям (6) и (7) добавить следующие уравнения

divE = ρ (8)

divH = 0 (9)

Если излучатель (источник векторного потока) неподвижен, то система уравнений (6-9), описывающая векторное поле излучающей системы с расширяющимися эквипотенциальными облучаемыми сферическими поверхностями и движущимся точечным излучателем, запишется так:

divE = ρ, divH = 0, , . (10)

В целях детализации исследования элементов векторного поля возможно использовать систему уравнений (6-9) в частных производных, учитывающих зависимость радиус-векторов от времени. В этом случае для сохранения вида уравнений (6-9) необходимо применять преобразования координатного перехода, где зависимость от координат учитывается метрическими (масштабными) коэффициентами. Когда система уравнений (6-9) записывается в полных производных, то при неизменности модуля |V| = σ = const эта система, описывающая геометрическую структуру процесса, является инвариантом относительно классических координатных преобразований. Запишем для примера одно из уравнений системы (6-9) для неподвижных координат в виде

(13)

и то же самое для второй системы координат, движущейся относительно первой со скоростью u:

(14)

При наличии классических преобразований

можно записать и т.д.

Тогда из (14)

. (15)

Уравнение (15) отличается по физическому смыслу от исходного выражения (13) для rotЕ только значением скорости распространения сферической эквипотенциальной поверхности равной освещенности (или сигнала, или волны – в зависимости от физических кондиций векторного поля) относительно движущейся точки , и при u = 0 оба уравнения для rotЕ совпадают. Остальные уравнения системы преобразуются столь же просто.

В заключение следует подчеркнуть, что векторные уравнения (6-9), представляя из себя геометрические инварианты излучения подвижной системы излучающих и облучаемых объектов, описывают сходным образом многие различные физические процессы, протекающие в центрально симметричных системах. Это происходит в силу геометрического сходства векторных полей, присущих описанию пространственных свойств данных явлений.

ЛИТЕРАТУРА

1.Howell J.R. A Catalog of Radiation Configuration Factors. N.Y. – San Francisco –Toronto: McGrow-Hill Book Co. 1985 & 2nd Ed., 1998.

2.Рубцов Н.А., Лебедев В.А. Геометрические инварианты излучения. Новосибирск. 1989. 244 с.