Математика/4.Прикладная математика.
К.ф/м.н. Ахмадходжаев
Б.
Южно-Казахстанский педагогический университет, г.Шымкент, Казахстан
Об одном методе
факторизации функции двух переменных
Часто
научно-технические исследования приводить к решению интегро-дифференциальных
уравнений с функциями двух переменных. В таких случаях возникает необходимость
приближенному представлению функции двух переменных – в виде произведение двух
функций от каждой переменной. Естественно, это ведет к ошибкам и функционального и численного
характеров. Ошибки численного характера можно будет оценить различными методами
приближенного исчисления. Однако, не существуют никакие методы, позволяющие
оценить приближения функционального характера.
В данной
работе рассматривается метод факторизации, позволяющий преодолеть вышесказанную
проблему. Он основан на методе, который успешно
применялся автором 1
.
В предлагаемом случае факторизованная функция сохраняет все свойства в
зависимости от степени приближения. В качестве функции факторизации
используется сама функция. Параметрами факторизации являются аргументы функции,
принимающие отдельные значения из множества определения функции. С увеличением
степень приближения, множества значений параметров приближается множеству
значений аргументов заданной функции.
Пусть
дана дифференцируемая функция U (х,у) двух переменных. Представим её в следующем
факторизованном виде:
(1)
где −элемент n-мерного детерминанта, определяемого значением заданной
функции при
и
. Здесь Sk – параметры
факторизации. При этом значения переменных
х и у и параметра Sk образуют одно и то же множество. Функция (1)
определяет все свойства заданной
функции двух переменных. В частности, максимумы и минимумы ее совпадают с таковыми заданной. В
соответствии с теорией функции двух переменных, экстремума достигается при тех
значениях аргументов х и у, при которых частные производные
первого порядка обращаться в нуль или не существует:
,
(2)
Условия (2) для факторизованной функции (1)
становятся условиями следующего вида:
,
(3)
Функции U (х,у) и достигают
экстремума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные
производные первого порядка обращаются в нуль как (2) или (3), или не существует.
Пусть х=а, у=b значения независимых переменных, при которых
функция U (х,у) достигает максимума
или минимума. Рассмотрим функцию g (x, b) одной независимой переменной х. По условию оно должна достигать максимума или минимума при х=а, потому её производная по х при х=а, должна обращаться в нуль или не существовать Поскольку, для
достаточно малых при максимуме или
при минимуме.
Совершенно
аналогичным рассуждением убеждаемся, что производная функция U (х,у) по у должна или обращаться в нуль или не
существовать при у=b. И в этом случае, так же как в случае переменной х, в точке х=а, у=b функция U (х,у) имеет максимум если
в окрестности и
значения функции
меньше значения
функции в (a,b) или минимум, если
.
Таким
образом по условиям экстремума, параметры Sk должны быть равными значениям переменных х и у,
при котором функция U (х,у) достигает максимума
или минимума. Для количественного приближения необходимо дополнительное
требования. Оно заключается в минимизации разности заданной функции и
факторизованной. Применяя метод наименьших квадратов можно подобрать значения
параметра Sk, совпадающие с
точками экстремума функции двух переменных.
Литература:
1. Ахмадходжаев Б., Беляев В.Б., Е.Вжеционко Письма ЖЭТФ. 9.692, 1969