Математика/4.Прикладная математика.

К.ф/м.н. Ахмадходжаев Б.

Южно-Казахстанский педагогический университет, г.Шымкент, Казахстан

Об одном методе факторизации функции двух переменных

Часто научно-технические исследования приводить к решению интегро-дифференциальных уравнений с функциями двух переменных. В таких случаях возникает необходимость приближенному представлению функции двух переменных – в виде произведение двух функций от каждой переменной. Естественно, это ведет к ошибкам и функционального и численного характеров. Ошибки численного характера можно будет оценить различными методами приближенного исчисления. Однако, не существуют никакие методы, позволяющие оценить приближения функционального характера.

В данной работе рассматривается метод факторизации, позволяющий преодолеть вышесказанную проблему. Он основан на методе, который успешно применялся автором ¹ . В предлагаемом случае факторизованная функция сохраняет все свойства в зависимости от степени приближения. В качестве функции факторизации используется сама функция. Параметрами факторизации являются аргументы функции, принимающие отдельные значения из множества определения функции. С увеличением степень приближения, множества значений параметров приближается множеству значений аргументов заданной функции.

Пусть дана дифференцируемая функция U (х,у) двух переменных. Представим её в следующем факторизованном виде:

(1)

где −элемент n-мерного детерминанта, определяемого значением заданной функции при и . Здесь S_k – параметры факторизации. При этом значения переменных х и у и параметра S_k образуют одно и то же множество. Функция (1) определяет все свойства заданной функции двух переменных. В частности, максимумы и минимумы ее совпадают с таковыми заданной. В соответствии с теорией функции двух переменных, экстремума достигается при тех значениях аргументов х и у, при которых частные производные первого порядка обращаться в нуль или не существует:

, (2)

Условия (2) для факторизованной функции (1) становятся условиями следующего вида:

, (3)

Функции U (х,у) и достигают экстремума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные производные первого порядка обращаются в нуль как (2) или (3), или не существует.

Пусть х=а, у=b значения независимых переменных, при которых функция U (х,у) достигает максимума или минимума. Рассмотрим функцию g (x, b) одной независимой переменной х. По условию оно должна достигать максимума или минимума при х=а, потому её производная по х при х=а, должна обращаться в нуль или не существовать Поскольку, для достаточно малых при максимуме или при минимуме.

Совершенно аналогичным рассуждением убеждаемся, что производная функция U (х,у) по у должна или обращаться в нуль или не существовать при у=b. И в этом случае, так же как в случае переменной х, в точке х=а, у=b функция U (х,у) имеет максимум если в окрестности и значения функции меньше значения функции в (a,b) или минимум, если .

Таким образом по условиям экстремума, параметры S_k должны быть равными значениям переменных х и у, при котором функция U (х,у) достигает максимума или минимума. Для количественного приближения необходимо дополнительное требования. Оно заключается в минимизации разности заданной функции и факторизованной. Применяя метод наименьших квадратов можно подобрать значения параметра S_k, совпадающие с точками экстремума функции двух переменных.

Литература:

1. Ахмадходжаев Б., Беляев В.Б., Е.Вжеционко Письма ЖЭТФ. 9.692, 1969