Приближенное решение смешанной задачи для уравнения КПП

К.ф.-м.н. Бозиев О.Л.

Кабардино-Балкарский государственный университет (г.Нальчик, Россия)

В [1] был предложен способ приближенного решения начально-краевой задачи для уравнения Колмогорова – Петровского – Пискунова (КПП)

, (1)

(2)

путем аппроксимации уравнения (1) с помощью рекуррентного соотношения

(3)

Для получения начального значения u⁽⁰⁾(x, t), необходимо при условиях (2) решить уравнение

(4)

где – среднее значение функции u(x, t) на отрезке [0, 1].

Последовательное интегрирование (4) по x с учетом граничных условий приводит к уравнению

(5)

Его корни δ(t) обращают (4) в линейное неоднородное уравнение, решение которого, найденное при условиях (2), принимается за начальное приближение u⁽⁰⁾ в итерационном процессе (3).

Построим приближенное решение уравнения (1) при условиях

(6)

Тогда (5) принимает вид с решениями d = 0 и d = (–12)^1/(ⁿ^–1), последнее из которых существует только при четных n.

При d = 0 уравнение (4) будет однородным и при условиях (6) дает нулевое решение, как и все последующие решения, получаемые с помощью (3).

Пусть d ≠ 0. Решение задачи (4), (6) определяется с помощью функции Грина G(x, ξ, t – τ) и, т.к. –d ⁿ = const, задается формулой

(7)

Ограничимся четырьмя слагаемыми в разложении функции G, тогда после вычисления интегралов в (7) получим функцию, которую примем за начальное приближение решения задачи (4), (6):

Для нахождения следующего приближенного решения необходимо подставить полученную функцию в правую часть (3) и решить соответствующую задачу. Можно заметить, что итерационный процесс нахождения приближенных решений задачи (1), (6) будет выражен соотношением

Обобщая выражения для различных приближений u⁽^k⁾(x, t) , k = 0,1,…, запишем формулу общего члена последовательности приближенных решений, в которой интегрирование производится последовательно k раз:

(8)

Для моделирования последовательности приближенных решений задачи (1), (6) для n = 2 воспользуемся пакетом символьной математики Maple.

Поверхности, определяемые функциями u⁽⁰⁾, u⁽²⁾, u⁽⁵⁾, показаны ниже.

u⁽⁰⁾(x, t)

u⁽²⁾(x, t)

u⁽⁵⁾(x, t)

При визуальном анализе этих поверхностей можно заметить, что с переходом к очередной функции последовательности u⁽^k⁾(x, t) соответствующая поверхность все больше “прижимается” к плоскости u(x, t) = 0, а минимальное значение функции в заданной области увеличивается и стремится к нулю.

Это наблюдение подтверждается данными таблицы, в которой приведены значения функций u⁽^k⁾(x, t), k = 0,1, …, 5, полученные при t = 0,2 в расчетных точках x = 0,0, 0,1, …, 1,0. Последняя строка таблицы заполнена значениями функции u(x, t) в этих же точках, полученные путем непосредственного решения задачи (1), (6) при n = 2 в среде Maple. Аналогичная картина наблюдается и при других значениях t.

Значения функций u⁽^k⁾(x, 0,2), k = 0,1, …, 5, и u(x, 0,2)

x	0,100	0,200	0,300	0,400	0,500	0,600	0,700	0,800	0,900	1,0
u⁽⁰⁾	–6,717	–12,283	–16,066	–18,088	–18,698	–18,088	–16,066	–12,283	–6,717	0,0
u⁽¹⁾	–0,509	–0,969	–1,333	–1,567	–1,648	–1,567	–1,333	–0,969	–0,509	0,0
u⁽²⁾	–0,034	–0,065	–0,089	–0,104	–0,110	–0,104	–0,089	–0,065	–0,034	0,0
u⁽³⁾	–0,002	–0,003	–0,005	–0,006	–0,006	–0,006	–0,005	–0,003	–0,002	0,0
u⁽⁴⁾	–0,000	–0,000	–0,000	–0,000	–0, 000	–0,000	–0,000	–0,000	–0, 000	0,0
u⁽⁵⁾	–0,000	–0,000	–0,000	–0,000	–0, 000	–0,000	–0,000	–0,000	–0, 000	0,0
u	0,000	0,000	0,000	0,000	0, 000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,0

Полученные результаты позволяют сделать предварительный вывод о том, что последовательность функций u⁽^k⁾(x, t) сходится к общему решению задачи (1), (6) при n = 2. В силу этого можно заключить, что решения задач типа (1), (2) путем построения последовательности приближенных решений по формулам вида (8) может быть эффективным для четных значений показателя нелинейности в уравнении (1). Таким образом, формула (8) позволяет находить “достаточно точные” приближенные решения задачи (4), (6), которые, в свою очередь, можно считать приближенными решениями задачи (1), (6).

Литература

1. Бозиев О.Л. Об одном способе приближенного решения смешанной задачи для нелинейного параболического уравнения// Materialy VII Miedzynarodwej naukowi-praktyczney konferencji «Perspektywiczne opracowania sa nauka I technikami – 2011», Przemysl, 07 – 15 listopada 2011 roku, Nauka I studia, Vol. 51, Matematyka, s. 16 – 19.