МЕТОД РОЗРАХУНКУ НДС ПРЯМОКУТНОЇ

ПЛАСТИНИ З МІШАНИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ

ТИПУ «ВІЛЬНИЙ КРАЙ – РУХОМЕ ЗАЩЕМЛЕННЯ»

В.А. Пасічник, Д.С. Куницька

Дніпропетровський національний університет ім. О. Гончара

Актуальність даної роботи визначається тим, що реальні конструкції дуже часто мають складний вид: вільний край – защемлення або різні варіанти пружного закріплення, а також мішані крайові умови. Це може бути обумовлено конструктивними рішеннями при проектуванні, або умовами експлуатації.

Розглянемо задачу розрахунку напружено-деформованого стану прямокутної пластини під дією рівномірно розподіленого навантаження q, що має складні умови закріплення країв, рис. 1

Рис. 1. Фізична модель закріплення пластини

– шарнірне закріплення,	– рухоме защемлення,
– вільний край

Дослідження напружено-деформованого стану пластин зводиться до побудови розв’язків диференціальних рівнянь у частинних похідних четвертого порядку [1]

(1)

Крайова задача для рівняння (1) визначається такими співвідношеннями, що відповідають умовам закріплення пластини:

при	(2)
при	(3)

де функція Хевісайда.

Параметр змінюється в інтервалі , при =0 – шарнірне закріплення, =1 – мішані крайові умови типу «рухоме закріплення – вільний край».

Для побудови розв’язку крайової задачі (1) – (3) представимо згин у вигляді суми складових:

(4)

де

	(5)
	(6)

Вираз (5) описує циліндричний згин пластини, шарнірно опертої по сторонам і знаходиться під дією рівномірно розподіленого навантаження, вираз (6) – згин пластини, шарнірно опертої по сторонам , а на сторонах має наступні граничні умови:

Використовуючи представлення (4) – (6) зведемо розв’язок крайової задачі (1) – (3) до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Застосувавши метод асимптотичного розщеплення за малим параметром e [1], що відповідає випадку податливого защемлення, отримаємо рекурентні формули для визначення коефіцієнтів :

	(7)
	(8)
	(9)

Для покращення ефективності отриманих розв’язків проводиться їх перебудова в апроксиманти Паде. В результаті отримано скінченні вирази для знаходження коефіцієнтів (7) – (9).

(10)

Розглянемо отриманий розв’язок в граничних випадках. Граничний випадок m=0 відповідає рухомому защемленню по краям y=±0,5. Тоді . Другий граничний випадок m=0,5 – відповідає рухомому защемленню і вільному обпиранню пластини на краях y=±0,5, при цьому

В цьому випадку АП (10) при e=1 з урахуванням виразу (4) дає точний розв’язок:

₍₁₁₎

Розрахунок компонентів НДС проводився для квадратної пластини з урахуванням перших десяти коефіцієнтів , які отримані за допомогою АП (10) при e=1. Визначались прогин та згинальний момент в центрі пластини для різних значень параметра m. Результати розрахунків представлені на рис.2–4 суцільними лініями. Штрих-пунктирна лінія – результати обчислення за допомогою методу скінчених елементів.

Аналіз результатів чисельних розрахунків показує задовільну точність запропонованого підходу для побудови розв’язків прикладних задач.

Таким чином, застосування методу збурення виду крайових умов та апроксимації Паде дозволило побудувати наближений розв’язок крайової задачі розрахунку напружено-деформованого стану прямокутної пластини для випадку складних умов закріплення країв.

Рис.2. Залежність прогину

Рис.3. Залежність згинального моменту

Рис.4. Залежність прогину

1. Кузьменко В.І., Пасічник В.А. Метод розрахунку нелінійного згину рівно рівномірно навантаженої пластини при шарнірному обпиранні та защемленні протилежних країв //Питання прикладної математики і математичного моделювання. 2000. С.43-47.