Прикладная математика

Шишкин К.А.

Студент 5 курса факультета математики Одесского Национального Университета им. И.И. Мечникова

Точный множитель Вейля для суммируемости ортогональных рядов методами Вороного, «близкими» к сходимости

Проблема точных показателей сходимости и суммируемости является

всегда актуальной как в теоретическом, так и в прикладном аспекте. В связи с этим представляет интерес определение точных множителей Вейля для различных методов суммирования.

В работе определяются точные множители Вейля для суммируемости ортогональных рядов методами Вороного из некоторого специального класса.

Пусть ортонормированная система (ОНС) функций на отрезке [a,b] и — произвольная числовая последовательность действительных чисел. Составим ортогональный ряд

₍₁₎

и обозначим через его частную сумму.

Пусть — положительная неубывающая числовая последовательность. Она называется множителем Вейля для сходимости ортогональных рядов по данной ОНС , если из условия

₍₂₎

вытекает, что ряд (1) по системе сходится почти всюду. Множитель Вейля называется точным, если здесь последовательность нельзя заменить никакой последовательностью со свойством

.

Аналогично определяется точный множитель Вейля для методов суммирования.

Рассмотрим метод суммирования Вороного (см. [1], с.88), определяемый

неотрицательной числовой последовательностью . Пусть

.

Тогда средние Вороного ряда (1) имеют вид

₍₃₎

Если при , где конечно, то называется суммой ряда (1) в смысле Вороного.

Определим точный множитель Вейля для некоторого класса методов Вороного.

Заметим, что сходимость есть метод Вороного, определяемый последовательностью . В этом случае и

=

т.е. мы имеем дело с частной суммой исходного ряда. Точный множитель Вейля для этого случая дается теоремой Меньшова-Радемахера (см.[2], c.105-106).

Теорема А. Пусть — произвольная ортонормированная система. Тогда ортогональный ряд (1) почти всюду сходится, если

(4)

В то же время, если произвольная положительная неубывающая последовательность чисел такова, что

, (5)

то существует всюду расходящийся ортогональный ряд (1), коэффициенты которого удовлетворяют условию

(6)

и кроме того, функции являются ограниченными в совокупности

полиномами, т.е. где — константа.

Таким образом, является точным множителем Вейля для сходимости.

Заметим, что как показала О. А. Зиза [3], таков же точный множитель Вейля

для методов Эйлера и Бореля. Дальнейшие результаты следует смотреть в работах [4] и [6].

Далее положим откуда . Тогда средние Вороного примут вид

и после преобразования Абеля получаем, , где — -средние ряда (1). Для этого случая есть теорема Меньшова-Качмажа (см.[2], c.132-133).

Теорема Б. Если коэффициенты ортогонального ряда (1) удовлетворяют условию

,

то для любого ряд (1) почти всюду -суммируем.

И если члены положительной неубывающей последовательности чисел имеют порядок , то существует ортогональный ряд , который нигде не суммируем методом , хотя его коэффициенты удовлетворяют условию (6).

Отметим, что в работе В. А. Андриенко [7] доказано, что этот же точный множитель Вейля сохраняется для некоторого класса методов Вороного, «близких» к методам >0.

Докажем, что имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть — произвольное натуральное число и пусть метод Вороного определяется последовательностью вида , а . Тогда точным множителем Вейля для суммируемости ортогональных рядов (1) этим методом Вороного является .

Доказательство.

Пусть сначала . Тогда , а и Нетрудно заметить, что (3) можно записать в сокращенной форме:

₍₇₎

Составим средние Вороного для этого случая:

Если выполнено условие (4) теоремы А, то почти всюду существует , а это значит, что при будет почти всюду и _, т. е. возникает ещё одно слагаемое, которое на сходимость ряда не влияет.

Пусть теперь , т.е. , а . Тогда

Составляя выражение (7), имеем:

т. е. снова имеем частную сумму ряда (1) и еще на этот раз, два слагаемых; они также не влияют на сходимость исследуемого ряда.

В общем случае, когда нетрудно понять, что средние Вороного имеют вид

= (8)

Из условия (4) следует сходимость почти всюду последовательности , а

следовательно, сходимость почти всюду к нулю конечной суммы из слагаемых в правой части (8). Таким образом, есть множитель Вейля для указанного метода Вороного. Покажем, что он является точным множителем Вейля. Действительно, если произвольная положительная монотонно возрастающая последовательность чисел такова, что верно (5), то согласно теореме А существует всюду расходящийся ортогональный ряд (1), коэффициенты которого удовлетворяют условию (6) и, кроме того, функции являются ограниченными в совокупности полиномами, то есть где — константа.

Но в таком случае «добавок» в (8) ограничен и, следовательно, последовательность средних Вороного (8) расходится всюду.

Литература

1. Харди Г. Расходящиеся ряды.- М.: ИЛ , 1951.-504 с.

2. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М, ИЛ, 1963.-359 с.

3. Зиза О. А. О суммировании ортогональных рядов методами Эйлера. Матем. сборник.- 1965.- Т.66.- С.354-377.

4. Ульянов П. Л. Развитие результатов Д. Е. Меньшова по теории ортогональных рядов. Добавление в [5], с. 425–451.

5. Меньшов Д. Е. Избранные труды. Математика. М., Факториал, 1977.-477 с.

6. Зиза О.А. Суммирование ортогональных рядов. Издательство УРСС, М., 1999.-284 с.

7. Андрієнко В. Швидкість підсумовування ортогональних рядів методами Вороного// Вплив наукового доробку Вороного на сучасну науку .Книга 3: Праці третьої Міжнародної конференції пам’яті Г. Вороного з аналітичної теорії чисел і просторових мозаїк. Праці Інституту математики НАН України.-2005.- Т.55.-С. 47-55.