Конопля И.А., Ивахненко Н.Н

ДонНУЄТ им. М. Туган-Барановского. г.Донецк

Теория вероятностей и вклад Колмогорова в её развитие.

Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности. В окружающем нас мире происходят только случайные события, а наблюдаемые нами значения всех показателей внешней среды являются случайными величинами.

Обратимся к чрезвычайно важному понятию - вероятность. Этот термин обычно используют по отношению к событию и определяют числом (от 0 до 1), выражающим степень нашей уверенности в том, что данное событие произойдет. События с вероятностью 0 называют невозможными, а события с вероятностью 1 - достоверными. Иногда приходится иметь дело с так называемыми редкими (маловероятными) событиями. К ним принято относить события, значение вероятности которых не превышает определенного уровня, чаще всего –5 %. Итак, основным показателем любого события А является численная величина его вероятности P(A), которая может принимать значения в диапазоне [0…1] - в зависимости от того, насколько это событие случайно. Такое, смысловое, определение вероятности не дает возможности указать путь для вычисления ее значения. Если мы интересуемся событием A, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать факты его появления. Потребность в понятии вероятности и ее вычисления возникнет, очевидно, только тогда, когда мы наблюдаем это событие не каждый раз, либо осознаем, что оно может произойти, а может не произойти. И в том и другом случае полезно использовать понятие частоты появления события f_A - как отношения числа случаев его появления к общему числу наблюдений.

Как наука теория вероятности была построена на аксиоматике Колмогорова.

Аксиоматика теории вероятности основывается на построении вероятностного пространства. Последовательно строим вероятностное пространство.

Этап 1: Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A Ì e, B Ì e наблюдаемы, то наблюдаемы и события . Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Ì F выполняется:

1) дополнения

2) (A+B) Î F, (A×B) Î F

3) все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре

4) все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре

5) все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.

Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. То есть считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй. Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.

Этап 2: Каждому событию A Î F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру. Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

1. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.

2. P(U)=1.

3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

. Если , то .

Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.

Так же Колмогоров предложил следующую теорему.

Теорема Колмогорова: Любая числовая скалярная функция, которая удовлетворяет свойствам, которым удовлетворяет функция распределения, является функцией распределения и однозначно задает вероятностное пространство вида:

b - борелевская алгебра;

P - мера на борелевской алгебре;

R¹ - числовая скалярная ось.

Введем функцию F(x)

Эта функция определена для всех x, неубывающая, непрерывная сверху. Показать самим, что такая функция однозначно задает счетно-аддитивную меру на поле, порожденном всеми полуинтервалами ненулевой длины.

Докажем, что 0<F(x)<1

Согласно терминологии, если функция y=F(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена. Поскольку наша функция не убывающая, то максимум и минимум она соответственно будет иметь такой:

то есть 0<F(x)<1.

Смысл теоремы состоит в следующем: она позволяет утверждать, что если вы исследуете случайную величину, то не надо строить абстрактное пространство элементарных событий, счетно-аддитивную меру, конкретный вид функции . Нашей задачей будет лишь то, что считая R¹ - числовой скалярной осью - пространство элементарных событий, мы должны найти функцию распределения F(x), использую статистику: результата конкретного испытания над случайной величиной: X₁, X₂, ..., X_n

Таким образом, определение понятия вероятности события можно сформулировать следующим образом - это предел, к которому стремится частота наблюдения за событием при непрерывном увеличении числа наблюдений. Теория вероятностей, специальный раздел математики, доказывает существование такого предела и сходимость частоты к вероятности при стремлении числа наблюдений к бесконечности. И несомненно невозможно не подчеркнуть значения взглядов Колмогорова в развитии теории вероятности, как известно построенной на его аксиоматике.

Литература

1. Корнилов Г.И. Теория вероятностей. Учебное пособие для студентов экономических специальностей. – К.:МАУП, 1998. – 276 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1999. – 368 с.

3. Соколовська А.П. Методичні вказівки для теоретичних та практичних занять за курсом математична статистика. – К.:Знання-Прес, 2004 – 154с.