Временные
ряды и их приложение в экономике
В данной статье мы познакомимся с понятием
временного ряда, его числовыми характеристиками и примером прогноза временного
ряда. Под временным рядом мы будем понимать совокупность наблюдений экономической
величины в различные моменты времени.
Мы будем рассматривать временной ряд как выборку из
последовательности случайных величин Xt , где t принимает целочисленные значение от 0 до T. Совокупность случайных величин {Xt , t ϵ [0,T]} мы будем называть дискретным
случайным или стохастическим процессом, так как переменная t принимает дискретный набор значений.
Экономические
показатели не всегда ведут себя стационарно. С курса макроэкономики известно сезонное и циклическое поведение экономических показателей, кроме того, они
могут иметь тренд. Тренд представляет
собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может
изменятся монотонно во времени. Сезонная составляющая и цикл - это компонента,
которая периодически повторяется на протяжении некоторого временного периода,
например, на протяжении года. Часто эти
виды компонент присутствуют во
временном ряде одновременно.
Аналитически данное положение можно выразить уравнением вида:
, где
-
тренд развития; 
-
сезонная компонента; 
-
случайная величина . Рассмотрим временной ряд, состоящий из совокупности наблюдений фрахтового показателя, стоимости фьючерсной цены capesize поквартально
|
01.07 |
02.07 |
03.07 |
04.07 |
01.08 |
02.08 |
03.08 |
04.08 |
01.09 |
02.09 |
03.09 |
04.09 |
|
75,90 |
97,60 |
116,70 |
175,95 |
116,78 |
175,33 |
118,17 |
10,59 |
23,07 |
47,39 |
45,27 |
55,37 |
|
01.10 |
02.10 |
03.10 |
04.10 |
01.11 |
02.11 |
03.11 |
04.11 |
01.12 |
|
34,12 |
38,27 |
26,32 |
34,91 |
8,39 |
8,51 |
17,15 |
28,51 |
6,97 |
Далее,
для того что бы спрогнозировать этот фрахтовый показатель нужно найти его
основную составляющую, то есть тренд, поскольку это величина экономического
характера. Для этого будем рассуждать по типичной схеме экономистов. Цена на
любой вид товара формируется из соотношения спроса и предложения. В качестве
предложения в нашем случае будет выступать общий тоннаж в миллионах морских
тонн, предлагаемый на рынке в качестве свободных суден типа capesize.
Под спросом мы будем понимать объем тоннажа необходимый для перевозки общего
количества груза за период, а именно для перевозки руды и угля. Объем
предложения это есть величина известная, ее вычислять не нужно. Остается только
величина спроса. Для вычисления величины спроса логика следующая. Основным
грузом перевозок суден типа capesize является железная руда
экспортируемая из Бразилии в Европу и Китай (в большей части) и руда
экспортируемая из Австралии в Китай, а также уголь экспортируемый из Австралии
и Индии в Китай. Итак, нужно помесячно умножать объемы экспортируемой руды из
Бразилии в Китай, из Бразилии в Европу, из Австралии в Китай на соответствующие
расстояния, которые проделывают судна для перевозки этого груза. Далее мы это
помесячно суммируем, умножаем на 12 и делим на продуктивность руды. Аналогичную
процедуру проделываем и для угля, а затем суммируем и получаем величину спроса
в миллионах морских тонн. Далее хочу заметить, что все вычисления производятся,
для удобства, помесячно и затем поделив спрос на предложение для каждого
месяца, мы получим помесячную цену на фрахтовый показатель capeize.
Далее эти расчетные месячные фьючерсные цены на capesize, приводятся к
поквартальным, методом округления. Под продуктивностью руды
условно обозначена некая величина, которая вычисляется следующим образом. Берем
расстояние из Бразилии в Китай, умножаем его на общее количество аналогичных
поездок в году, еще умножаем на 0,85 (так как не все судна типа capesize
идут именно по этому маршруту) и все это делим на сумму тоннажа всей
экспортируемой руды за текущий месяц. Аналогично проделываем для расстояния из
Бразилии в Европу и для расстояния из Австралии в Китай и все это суммируем и
получаем продуктивность руды. Аналогичным способом вычисляется продуктивность
угля. Для
того чтобы вычислить количество аналогичных рейсов суден в году на определенном
маршруте нужно проделать следующее. Среднюю скорость судна в сутки, она
составляет 13 узлов, умножаем на 24 часа суток и умножаем на 365 дней в году и еще
умножаем на 1,8 поскольку не все судна пришедшие в одну сторону возвращаются
обратно, все это делим на расстояние из Бразилии в Китай к этой дроби еще
прибавляем количество дней которое судно стоит в порту Бразилии для погрузки,
количество дней которое судно стоит в порту Китая для выгрузки и еще плюс 3 дня
на какие-то технические задержки. Аналогично вычисляем количество подобных
рейсов в году для маршрута Бразилия – Европа, Австралия – Китай, и для угля
продуктивности угля количество рейсов по маршрутам Индия-Китай,
Австралия-Китай. Запишем
описанные выше процессы аналитически за период 04.2011-04.2012.
Данные по экспорту угля (млн тонн)из Австралии в Китай обозначим через x1
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
22,01 |
22,0 |
25,59 |
23,62 |
26,33 |
25,21 |
25,37 |
24,47 |
28,79 |
26,00 |
26,27 |
26,54 |
Данные по экспорту угля (млн тонн) из Индии
в Китай обозначим через x2
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
22,81 |
28,51 |
28,01 |
27,95 |
25,88 |
27,31 |
29,42 |
29,48 |
30,78 |
26,00 |
26,12 |
26,24 |
Данные
по экспорту руды (млн тонн) из Бразилии в Китай обозначим через x3
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
11,25 |
11,83 |
13,17 |
13,08 |
15,17 |
14,33 |
15,08 |
15,33 |
17,08 |
13,20 |
13,75 |
14,30 |
Данные
по экспорту руды (млн тонн) из Бразилии в Европу обозначим через x4
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
13,08 |
13,83 |
12,58 |
15,17 |
13,16 |
13,00 |
14,01 |
12,41 |
12,83 |
13,5 |
13,5 |
13,5 |
Данные
по экспорту руды из Австралии в Китай обозначим через x5
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
32,03 |
38,22 |
37,59 |
38,5 |
39,83 |
40,17 |
40,92 |
38,50 |
46,84 |
37,00 |
37,00 |
38,4 |
Количество
дней, которое судно стоит в порту угля Австралии обозначим y1
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
6,8946 |
3,14 |
4,5729 |
6,3557 |
7,4764 |
8,3206 |
8,7081 |
8,5011 |
10,6674 |
9 |
9 |
9 |
Количество
дней, которое судно стоит в порту угля Индии обозначим y2
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
1,75 |
5,17 |
2,57 |
3,29 |
4,56 |
2,33 |
4,2132 |
5,0894 |
10,5565 |
1 |
7 |
2,44 |
Количество
дней, которое судно стоит в порту руды Бразилии обозначим y3
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
9,135 |
9,135 |
9,135 |
7,9688 |
6,4714 |
7,6351 |
6,5575 |
6,1323 |
4,9366 |
7,793 |
7,793 |
7,793 |
Количество
дней, которое судно стоит в порту руды Австралии обозначим y4
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
4,7195 |
4,517 |
3,9302 |
3,6401 |
3,2134 |
2,5342 |
6,2832 |
5,6388 |
5,3557 |
5 |
5 |
5 |
Количество
дней, которое судно стоит в портах руды и угля Китая обозначим y5
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
4,2283 |
3,314 |
4,4254 |
4,0909 |
4,6889 |
5,1522 |
6,9089 |
5,9298 |
4,4315 |
4 |
4 |
4 |
Итак,
количество поездок в месяц из Австралии в Китай (4140 млн морских миль) по
перевозке угля равно: z1=365*24*13*2/ 4140+y1+y5+3. Из Индии в Китай(2453
млн морских миль) по перевозке угля: z2=365*24*13*2/2453+y2+y5+3. Из
Бразилии в Китай(11086 млн морских миль) по перевозке руды: z3=365*24*13*1,8/11086+y3+y5+3. Из Бразилии в Европу(4974 млн
морских миль) по перевозке руды: z4=365*24*13*1,8/4974+y3+3. Из
Австралии в Китай(3583 млн морских миль) по перевозке руды: z5=365*24*13*1,8/3583+y4+y5+3. Продуктивность руды помесячно
вычисляется следующим образом: a=0.85*z3*11086*x3/(x3+x4+x5)+0.85* z4*4974*x4/(x3+x4+x5)+ +0.85* z5*3583*x5/(x3+x4+x5). Продуктивность угля
помесячно вычисляется следующим образом:
b=0.85*z1*4140*x1/(x1+x2)+0.85* z2*2453*x2/(x1+x2). И следовательно объем
спроса вычисляется следующим образом: D=(x3*11086+x4*4974+x5*3583)*12/a+(x1*4140+x2*2453)*12/b. Согласно
этим формулам и приведенным выше данным можно рассчитать помесячно объем
спроса. Объем
предложения помесячно обозначим через S
|
04.11 |
05.11 |
06.11 |
07.11 |
08.11 |
09.11 |
10.11 |
11.11 |
12.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
|
218,55 |
221,59 |
224,48 |
226,35 |
228,92 |
229,54 |
231,64 |
233,74 |
235,84 |
238,24 |
240,64 |
243,04 |
Следовательно
цена на capesize P=D/S поквартально имеет вид
|
01.10 |
02.10 |
03.10 |
04.10 |
01.11 |
02.11 |
03.11 |
04.11 |
01.12 |
02.12 |
03.12 |
04.12 |
|
34,2 |
36,3 |
24,75 |
34,95 |
6,15 |
8,85 |
16,2 |
29,7 |
6,6 |
8,85 |
10,65 |
12,75 |
Сравнивая
ее с оригинальными значениями цены получаем график. 
Большие отклонения в
2007 году связанные с резким всплесковым ростом цены фрахтового показателя, что
спрогнозировать очень тяжело, хотя
динамика поведения довольно таки похожая. Таким
образом, нам удалось расчетным образом вычислить механизм формирования
фьючерсной цены фрахтового показателя. Естественно, в некоторых моментах
расчетные значения отличаются от реальных, но мы преследовали цель выразить
аналитически основную компоненту – тренд. Малейшие отклонения и неточности это
есть случайные величины.