Математика/1.
Дифференциальные и интегральные уравнения
д.ф.-м.н.,
проф. Кусаинова Л.К., докторант PhD, к.ф.-м.н. Оспанова А.Б.
Евразийский
национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан
О сходимости одной разностной схемы
для
сингулярной задачи Коши
В
данной работе рассматривается одна модель приближенной схемы (разностной схемы)
для численного решения задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка
с сингулярностью на бесконечности. Исследуются вопросы аппроксимации и
сходимости на решениях одной приближенной схемы для сингулярной задачи Коши
(1)
где – непрерывная на оси
функция, поведение
которой на бесконечности задается условиями
Известно,
что задача (1) при этих условиях однозначно разрешима для произвольной непрерывной
правой части. См. [1].
Пусть (
) – пространство
раз непрерывно
дифференцируемых в
функций таких, что
Положим . Через
будем обозначать
пополнение линейного многообразия
по норме
Задачу (1)
мы исследуем в операторной форме как
(2)
где
оператор
(3)
рассматривается
как оператор, действующий из в
, где
,
. Для пары
норма
Для
построения приближенной схемы (см. [2])
задачи
(2), (3) рассмотрим вначале специальный оператор дискретизации , где
– пространство
сходящихся к нулю числовых последовательностей
. Норма в
Зададим
характеристический размер Отелбаева относительно функции , полагая
Известно,
что
См. [3].
Поскольку , то
Пусть: ,
Положим (
). Пусть
,
– целые такие, что
Обозначим
через равномерную сетку на
:
Пусть
,
. Положим
Будем говорить, что удовлетворяет условию
медленного изменения относительно своего характеристического размера, если
существует такое
, что
()
как только
.
Утверждение. Пусть удовлетворяет условию
(
). Тогда для любой функции
справедлива оценка
где не зависят от
.
Введем
обозначения. Пусть ,
,
(
) – пространства векторов
,
, наделенные нормами:
Здесь (
) –
(
) -мерное арифметическое пространство. На
-ом шаге мы будем
рассматривать приближающий оператор
определенный
через равенства
где:
Пространство
. Нормы:
Пусть ,
– операторы
"сужения", действующие согласно равенствам:
где ;
Пусть
далее ,
– проекторы. Зададим приближенную
схему уравнения (1), полагая на
-ом шаге
(4)
(5)
Будем говорить, что
приближенная схема (4), (5) аппроксимирует уравнение (1) на решении , если:
Теорема 1. Пусть удовлетворяет условию
(
). Тогда: a) Уравнение (1) имеет решение
, если только
. b) Если
, то приближенная схема (4)-(5) аппроксимирует уравнение (1)
на
.
Пусть
– последовательность
решений уравнения
Будем говорить, что
приближенная схема (4)-(5) сходится на , если
Теорема 2. Пусть удовлетворяет условию
(
) и пусть решение уравнения (1)
. Тогда приближенная схема (4)-(5) сходится на
.
Литература:
1. Наймарк
М.А. Линейные дифференциальные операторы. – 2-е изд. – М.: Наука, 1969. – 528
с.
2. Треногин
В.А. Функциональный анализ. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 488 с.
3. Отелбаев
М., Кусаинова Л. К. Оценки спектра одного класса дифференциальных операторов //
Збірник праць Інституту математики НАН України Теорія операторів,
диференціальні рівняння і теорія функцій. – Київ, 2009. – Т. 6. – № 1. – С.
165-190.