Математика/3. Теория вероятностей и

математическая статистика

Бураковский В.В.

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Беларусь

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В СМО

С НЕСКОЛЬКИМИ ПРИБОРАМИ И РАЗНОТИПНЫМИ

ТРЕБОВАНИЯМИ

Рассмотрим СМО с приборами, в которую поступают заявки типов. Входящий поток является простейшим с интенсивностью , но таким, что с вероятностью , каждая заявка независимо от предыдущих оказывается -го типа.

Если поступающая в СМО заявка застает приборы занятыми, то она становится в очередь, которая может быть неограниченной. Обслуживание производится в порядке поступления. Заявки разных типов отличаются тем, что требуют различного обслуживания. Время обслуживания в СМО распределено по показательному закону с интенсивностью , где – тип заявки. Для определенности будем предполагать, что

Состоянием СМО будем называть вектор, состоящий из числа , где – количество заявок, находящихся в СМО, – номер типа заявки, обслуживаемой на первом приборе; – номер типа заявки, обслуживаемой на -м приборе; – номер типа заявки, обслуживаемой на -м приборе. Если в СМО заявок нет, то для унификации обозначений будем говорить, что она находится в состоянии .

Предположим, что в СМО существует стационарный режим. Через обозначим стационарную вероятность того, что СМО находится в состоянии . Процесс изменения состояний в СМО будет марковским. Суммируя уравнения равновесия, получим следующее уравнение:

. (1)

Данное соотношение получается при рассмотрении такого сечения в графе изучаемой СМО, которое отделяет состояние от состояний .

Состояние СМО, вообще говоря, задается вектором, состоящим из числа . Однако, если перенумеровать упорядоченные наборы через , то состояние СМО может задавать парой чисел . Если , то пара соответствует состоянию , при пар вида всего , а в случае таких состояний .

Будем называть множество -ым уровнем. Обозначим через вектор стационарных вероятностей -го уровня. Очевидно, что с каждого уровня можно перейти на соседний, а при , при , при имеем .

Для стационарных вероятностей состояний выполняются следующие соотношения6

p = 0, pfl = 1, (2)

где , fl – единичный вектор-столбец, – инфинитезимальная матрица, имеющая следующий блочный вид

.

Для введем следующие обозначения: при , , при .

Из соотношения p = 0 имеем с учетом обозначений

(3)

Для построения блоков введем следующие обозначения:

– вектор-столбец интенсивностей обслуживания заявок различных типов, через , – единичная матрица.

С учетом этих обозначений получаем, что блоки имеют вид

.

Таким образом, имеют размерность и состоят из блоков , которые можно записать в виде: , где

Блоки также имеют размерность и диагональный вид

.

Блоки диагонального вида

размерности .

Для стационарных вероятностей можно записать

(4)

Таким образом, последнее соотношение из (3) будет иметь вид:

(5)

Введем следующие обозначения:

Учитывая вид блоков , получим:

(6)

где – символ кронекеровского произведения.

Последнее соотношение из (3) примет вид:

(7)

или с учетом (4)

(8)

Таким образом, учитывая (4), имеем

(9)

Полагая ,

(10)

получим, что при по методу Ньютса [1].

Литература

1. Neuts, M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models : An algorithmic approach. – The John Hopkins University Press. – Baltimore, MD. –1981. – 332 p.