ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ В МОМЕНТ НАСТУПЛЕНИЯ РЕДКОГО СОБЫТИЯ

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Макаричев А.В., Роценко В.С.

Рассмотрим процесс случайного блуждания

,

где случайные величины с равными вероятностями 0,5 принимают значения 1 или -1 и являются взаимно независимыми, .

Пусть

-

случайная величина равная с вероятностью , , , .

Пусть

значение случайного процесса блуждания в момент наступления некоторого события, вероятность наступления которого равна .

Теорема. При

.

Доказательство.

Пусть

-

характеристическая функция случайной величины . Найдем характеристическую функцию случайной величины

,

.

Найдем асимптотическое поведение характеристической функции случайной величины . Имеем

при ,

так как при

.

Итак, характеристическая функция случайной величины стремится при к характеристической функции случайной величины , имеющей двустороннее показательное распределение с плотностью .

По теореме о непрерывности [1]

для любого , что и требовалось доказать.

Опираясь на эту теорему, при малых значениях можно находить для любого вероятности

.

Литература.

1. Ширяев А.Н. Вероятность-М.: Наука, 1980.