Математика / 5. Математическое моделирование

 

к.ф.-м. н. Калжанов М.У.

 

Костанайский государственный университет

имени А.Байтурсынова, Казахстан

 

МЕТОДЫ

АНАЛИЗА  ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК

 

 

         При анализе мнений экспертов  применяют  различные статистические методы [1], описывать их - значит описывать всю методологию  прикладную статистику. Однако можно выделить основные подходы и  методы математической обработки экспертных оценок - проверка согласованности мнений экспертов (или классификация экспертов, если нет согласованности) и усреднение мнений экспертов внутри согласованной группы.

         Поскольку ответы экспертов во многих процедурах экспертного опроса - не числа, а такие объекты нечисловой природы, как градации качественных признаков, ранжировки, разбиения, результаты парных сравнений, нечеткие предпочтения и т.д., то для их анализа оказываются полезными методы статистики объектов нечисловой природы [2].

         Важно понять различие мнений экспертов. Необходимо определить  насколько велико это различие. Если мало - усреднение мнений экспертов позволит выделить то общее, что есть у всех экспертов, отбросив случайные отклонения в ту или иную сторону. Если велико - усреднение является чисто формальной процедурой.  Отсюда    вытекает важность  анализа и проверки согласованности мнений экспертов.

         Существует ряд методов такой проверки. Статистические методы проверки согласованности зависят от математической природы ответов экспертов. Соответствующие статистические теории весьма трудны, если эти ответы - ранжировки или разбиения, и достаточно просты, если ответы - результаты независимых парных сравнений.

Эксперту  намного легче сравнивать только два объекта. Непараметрическая теория парных сравнений (теория люсианов) позволяет решать более сложные задачи, чем статистика ранжировок или разбиений.

Например ,  вместо гипотезы равномерного распределения можно рассматривать гипотезу однородности, т.е. вместо совпадения всех распределений с одним фиксированным (равномерным) можно проверять лишь совпадение распределений мнений экспертов между собой, что естественно определять как согласованность их мнений.

Если  нет согласованности экспертов,   их можно разбить на группы сходных по мнению. Это можно  определить различными методами прикладной статистики объектов нечисловой природы, относящимися к кластерному анализу, предварительно введя метрику в пространство мнений экспертов.    Пусть мнения комиссии экспертов или какой-то ее части признаны согласованными. Каково же итоговое (среднее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемени следует  определить среднее мнение как решение оптимизационной задачи. А именно, необходимо  минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют "медианой Кемени".

Известно,  что бинарное отношение А на конечном множестве Q = {q1 , q2 ,..., qk } - это подмножество декартова квадрата  Q2 = { (qm , qn ), m,n = 1,2,…,k }. При этом пара (qm , qn ) входит в А тогда и только тогда, когда между qm и qn имеется рассматриваемое отношение. Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей  || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k. При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1.

Из определения противоречивости  пары (a, b) вытекает, что для нахождения всех таких пар можно воспользоваться матрицами, соответствующими ранжировкам. Достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x(a,b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b)y(a,b)=x(b,a)y(b,a)=0.

В экспертных методах используют  бинарные отношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, между которыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности (отношения сходства). Как следует из сказанного выше, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей || a(i,j) || из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда, когда qi и qj находятся в отношении А, и a(i,j) = 0 в противном случае.

         Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами || a(i,j) || и || b(i,j) || соответственно, называется число D (A, B) = ∑ │a(i,j) - b(i,j) │, где суммирование производится по всем i,j от 1 до k, т.е. расстояние Кемени между бинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящих на одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.

         Расстояние Кемени - это число несовпадающих элементов в  матрицах || a(i,j) || и || b(i,j) || . Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. Эта система аксиом и вывод из нее формулы для расстояния Кемени между упорядочениями содержится в [3], которая сыграла большую роль в развитии такого научного направления, как анализ нечисловой информации [3, 4].

С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение экспертов. Пусть А1 , А2  ,  А3  ,…, Ар  - ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для их усреднения  применяют так называемую  медиану Кемени  Arg min ∑ D (Ai ,A) , где Arg min - то или те значения А, при которых достигает минимума сумма расстояний Кемени от результатов экспертов до текущей переменной А, по которой и проводится минимизация. Таким образом, ∑ D (Ai ,A) = D (A1 ,A) + D (A2 ,A) + D (A3 ,A) +…+ D (Aр ,A) . Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, в котором  вместо D (Ai ,A) стоит D2 (Ai ,A). Медиана Кемени - частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы. Для нее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т.е. р - числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему: Arg min ∑ D (Ai ,A) → Arg min М D (A1 , A) .  М - символ математического ожидания.  Ответы р экспертов А1 , А2  ,  А3  ,…, А р  есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы.

   

Литература

1. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.

2. Менеджмент. Учебное пособие. / Под ред. Ж.В. Прокофьевой. - М.: Знание, 2000. - 288 с.

3. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с.

4. Орлов А.И. Эконометрика. Учебное пособие. - М.: Изд-во "Экзамен", 2002.