Математика / 5. Математическое моделирование

к.ф.-м. н. Калжанов М.У.

Костанайский государственный университет

имени А.Байтурсынова, Казахстан

ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ

И ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

При изучения теории и задач экспертных оценок необходимо знания и понятия так называемой репрезентативной теории измерений (РТИ которая определяется анализом выводов экспертов, определенных в качественном (а не в количественном) виде. [1].

Ранг - это номер (объекта экспертизы) в упорядоченном ряду. Формально ранги определяются числами 1, 2, 3, ..., но с этими числами нельзя производить обычные арифметические операции. Для анализа такого вида качественных данных необходима теория, определяющая фундаментальную основу для изучения, разработки, конкретных методик для расчета данных.

В настоящее время термин "теория измерений" применяется для изучения целого ряда научных дисциплин: прикладной статистики, алгоритмической теории измерений и др.

В соответствии с РТИ [2] при математическом моделировании реального явления или процесса, необходимо прежде всего установить, в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых преобразований.

Определим основные виды шкал измерения и соответствующие им группы допустимых преобразований. В шкале наименований (другое название - номинальной шкалы) допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования. В этой шкале числа используются лишь как метки.

В порядковой шкале числа используются для установления порядка между объектами. Простейшим примером являются оценки знаний обучающихся.

Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале.

Порядковая шкала и шкала наименований - основные шкалы качественных признаков. Поэтому во многих конкретных областях результаты качественного анализа можно рассматривать как измерения по этим шкалам.

Шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей и абсолютная шкала. Из количественных шкал наиболее распространенными в науке и практике являются шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчета - нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: длина , масса тела, заряд, а также цены в прикладной экономике. Допустимыми преобразованиями шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб).

Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае.

Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычном смысле слова. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.

В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться.

Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в РТИ так: выводы, сделанные на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных. То есть, выводы должны быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы.

Рассмотрим пример обработки мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Пусть Y1, Y2,...,Yn - совокупность оценок экспертов, "выставленных" одному объекту экспертизы (например, одному из вариантов стратегического развития компании ), Z1, Z2,...,Zn – второму.

Совокупности можно сравнить по средним значениям. Известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением нескольких из них является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле

G{(F(X1)+F(X2)+...F(Xn))/n},

где F - строго монотонная функция, G - функция, обратная к F. Среди средних по Колмогорову - много известных приложений. Так, если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, если F(x) = x², то среднее квадратическое, и т.д

Определим среднее по О. Коши. Оно формулируется следующим образом - средней величиной является любая функция f(X1, X2,...Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов, значение функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,...Xn , и не больше, чем максимальное из этих чисел. Среднее по Колмогорову - частный случай среднего по Коши.

При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом как основное требование в РТИ). Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы.

Пусть f(X1, X2,...,Xn) - среднее по Коши. Пусть среднее по первой совокупности меньше среднего по второй совокупности:

f(Y1, Y2,...,Yn) < f(Z1, Z2,...,Zn). (1)

Согласно РТИ для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале было справедливо также неравенство

f(g(Y1), g(Y2),..., g(Yn)) < f (g(Z1), g(Z2),..., g(Zn)), (2)

т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2,...,Yn и Z1, Z2,...,Zn и, напомним, любого допустимого преобразования g. Согласно РТИ только такими средними можно пользоваться при анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемой шкале.

Целесообразно использовать одновременно оба метода - и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов. Такая рекомендация согласуется с концепцией и принципом устойчивости, предполагающей использование различных методов для анализа и обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах.

Литература

1.Горский В.Г., Орлов А.И., Гриценко А.А. Метод согласования кластеризованных ранжировок // Автоматика и телемеханика. 2000. №3. С. 159-167.

2 . Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.

3. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. - 296 с.

4. Менеджмент. Учебное пособие. / Под ред. Ж.В. Прокофьевой. - М.: Знание, 2000. - 288 с.