Гарькина И.А., Данилов А.М.

Оптимизация системных моделей

по частным критериям

 

Наибольшая трудность анализа любого крупного технического и народнохозяйственного проекта заключается в необходимости решения задачи многокритериальной оптими­за­ции для управления его характеристиками. При этом многокритериальную задачу желательно свести к однокритериальной задаче, сформулировав единую цель при множестве критериев: 

.

Однако математика не может на это дать однозначного ответа (добиться оптимизации всех критериев одновременно невозможно в принципе), но может помочь принять решение и сделать правильный выбор. Реально возмож­но достичь только некоторого компромисса (сочетания требуемых ка­честв). В некоторых случаях эффективным методом сведения многокритериальной задачи к однокритериальной является расстановка приоритетов. В этом случае в многокритериальной задаче оптимизации на множестве допустимых решений задаются лексикографические отношения предпочтения: все критерии можно ранжировать (строго упорядочить) по важности так, что при последовательном рассмотрении критериев вначале используется первый  критерий, затем второй и т.д. Задание набора ранжированных критериев , ,…,  при синтезе сложной системы  позволяет выделить некоторые стратегии в качестве оптимальных, упорядочить все стратегии по степени их предпочтительности (так располагают слова в словаре) и свести многокритериальную задачу к лексикографической [1]. При отсутствии случайных и неопределенных факторов (детерминированной) в лексикографической задаче каждой стратегии соответствуют определенные числовые значения частных критериев. Оптимизация структуры и свойств сложной системы, состоящей из взаимосвязанных подсистем, находящихся на разных иерархических уровнях, легко представляется в лексикографической форме.  

Как уже отмечалось, при сравнении двух стратегий в первую очередь используется первый критерий: лучшей считается та стратегия, для которой значение этого критерия больше. Если значения первого критерия для обеих стратегий равны, то применяется второй критерий и предпочтение отдается той стратегии, для которой его значение больше. Если и второй критерий не позволяет выделить лучшую стратегию, привлекается третий и т.д.

Лексикографическое отношение предпочтения задается в виде:

- стратегия   предпочтительнее стратегии v (обозначается  ), если  выполняется одно из   условий:

1. ;

2. , ;

                            …

r.   , ,…,, ;

                  …

m. , ,…,, .

- стратегии   и  v   эквивалентны  (  ~ ), если

, ,…,.

- стратегия   лексикографически  не хуже (не менее предпочтительна), чем стратегия  (обозначается  ), если выполнено одно из приведенных выше () условий.

Отметим, любые две стратегии  и  v   сравнимы по рассматриваемому отношению предпочтения, то есть всегда выполняется одно из условий

; ;  ~ .

В общем случае эффективность стратегии   в рамках используемой модели характеризуется множеством чисел  , отражающим степень достижения цели операции при использовании этой стратегии.

В лексикографической задаче оптимизации  добиваются сколь угодно малого приращения более важного критерия за счет любых потерь по остальным менее важным критериям.

Лексикографически оптимальной будет стратегия , которая не хуже любой другой стратегии , если  .

При наличии лишь одного критерия эффективности оптимальная стратегия   определяется из условия ;- множество всех стратегий.

При решении лексикографической задачи оптимизации  определяются оптимальные стратегии. Так как все такие стратегии эквивалентны, можно ограничиться отысканием не всего множества , а лишь одной оптимальной стратегии. Каждый последующий частный критерий сужает множество стратегий, получаемых  с помощью всех предыдущих частных критериев:

 .

Отметим, если в исходной задаче оптимизации с одним скалярным критерием имеется несколько решений, и для дальнейшего выбора последовательно применяются дополнительные критерии, то полученные в результате стратегии будут оптимальными для соответствующей лексикографической задачи с векторным критерием, состоящим из всех поочередно использовавшихся критериев.

В заключение отметим, решение большинства задач однокритериальной оптимизации позволяет получить однозначное решение. В задачах же многокритериальной оптимизации при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Здесь нельзя говорить об объективном единственном решении задачи; выбор наилучшего решения в значительной степени субъективен. Так как область допустимых решений очередной задачи представляет собой множество оптимальных решений предшествующих задач, то она быстро сужается до одной точки, лишая свободы выбора при максимизации последующих критериев. Следует помнить, что решение задачи оптимизации существенно зависит от результатов ранжирования критериев качества. В известной мере избавиться от этого недостатка позволяет применение метода последовательных уступок, процедура  которого включает:

- расположение частных критериев в порядке их относительной важности;

- максимизацию первого, наиболее важного критерия; назначение величины допустимого снижения (уступки) значения этого критерия;

- максимизацию второго по важности частного критерия при условии, что значение первого критерия не должно отличаться от максимального более, чем на величину уступки;

- назначение величины уступки по второму критерию;

- максимизацию третьего критерия при условии, чтобы значения первых двух критериев не отличались от ранее найденных максимальных значений больше, чем на величины соответствующих уступок и т.д.

Здесь многокритериальная задача сводится  к поочередной максимизации частных критериев и выбору величин уступок (чем уступки меньше, тем приоритет жестче); оптимальной считается любая стратегия,  соответствующая  условному максимуму последнего по важности критерия. 

Приведенный метод широко и эффективно нами использовался при решении задач управления в технических системах разной направленности (формирование управляющих воздействий оператора эргатической системы, оценка имитационных характеристик тренажных и обучающих комплексов, оптимизация рецептурно-технологических параметров композиционных материалов, моделирование задач гемодинамики в сердечно-сосудистой хирургии и т.д.).

Литература

 

1. Подиновский, В.В. Оптимизация по последовательно применяемым критериям [Текст] / В.В.Подиновский, В.М.Гаврилов.  – М.: Советское радио, 1975. – 192 с.