Математика/5. Математическое моделирование

К.т.н. Боровиков И.Ф., Потапова Л.А.

Юргинский технологический институт Национального исследовательскогоТомского политехнического университета, Россия

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНВОЛЮЦИЙ С ПУЧКАМИ СЛАБОИНВАРИАНТНЫХ ГИПЕРКВАДРИК

При решении многопараметрических задач появляется необходимость в конструировании гиперповерхностей, моделирующих технологические процессы, зависимости «состав-свойство» и т.д. Это удобно делать на основе нелинейных преобразований, так как при этом уже на стадии задания аппарата преобразования и прообраза можно прогнозировать свойства гиперповерхности и, следовательно, в достаточно широких пределах управлять этими свойствами. Для получения гиперповерхностей предлагаем использовать нелинейные инволюции с пучками слабоинвариантных гиперквадрик. На возможность использования таких преобразований для случая указывалось в работах . Однако достаточно полного исследования в конструктивно-прикладном плане этот вопрос не получил.

Пусть заданы две различные гиперквадрики и , которые определяют однопараметрическое множество (пучок) гиперквадрик, пересекающихся по поверхности , являющейся базисной. Для случая такой поверхностью является совокупность четырех точек, для - пространственная кривая, для - двумерная поверхность и т.д. Некоторую точку пространства примем за центр преобразования. Произвольная точка выделяет из пучка единственную квадрику , которая прямой пересекается в двух точках - и , принимаемые за соответственные в нелинейной инволюции , индуцируемой в пространстве . Инвариантная гиперповерхность является геометрическим местом -поверхностей касания -конусов с общей вершиной с гиперквадриками пучка. В свою очередь, -поверхность касания определяется как результат пересечения гиперквадрики пучка с первой полярой точки относительно этой гиперквадрики. Первые поляры точки относительно гиперквадрик пучка образуют пучок гиперплоскостей, проективных пучку гиперквадрик. Инвариантная гиперповерхность, образованная этими пучками, будет гиперповерхностью третьего порядка, для которой точка будет простой точкой. И действительно, любая прямая, инцидентная , пересекает гиперквадрики пучка в парах точек одной инволюции. Две двойные точки этой инволюции принадлежат инвариантной гиперповерхности, следовательно, третья точка пересечения прямой с инвариантной гиперповерхностью должна совпадать с . Так как инвариантная гиперповерность будет гиперповерхностью третьего порядка, то рассматриваемое преобразование является кубической инволюцией. Центр преобразования является двукратной точкой, а базисная поверхность – простой поверхностью. Конструируемая гиперповерхность будет инцидентна точке , имея там бипланарную точку, и поверхности . Если прообраз , инцидентна элементам, то получаемая гиперповерхность будет приводимой. Кроме того, поведением можно управлять, выбирая базисную поверхность действительной или мнимой.

Практический интерес представляет случай двумерного пространства, когда пучком гиперквадрик является пучок коник. При обобщении на случай пучков слабоинвариантных кривых -го порядка центр преобразования должен совпадать с -кратной базисной точкой пучка кривых. Доказано, что:

-инвариантная кривая преобразования, а, следовательно, и порядок преобразования определяется соотношением ;

-точка является -кратной -точкой;

-порядок преобразования понижается на , если пар базисных точек пучка слабоинвариантных кривых коллинейны с центром преобразования;

Если центр преобразования не совпадает ни с одной из базисных точек пучка, то получается -значное соответствие с пучком слабоинвариантных кривых -го порядка.

Для случая возможны следующие подходы:

-задаются пучки слабоинвариантных гиперповерхностей;

-нелинейное преобразование задается как расслояемое преобразование.

Для задания расслояемого нелинейного преобразования -мерного проективного пространства все пространство заполняется некоторыми алгебраическими многообразиями размерности и на каждом многообразии задается свое преобразование. Рассмотренный метод конструирования гиперповерхностей достаточно прост. Он позволяет получить практически любую поверхность, отвечающую заданным требованиям. Наличие возможности создания на его основе удобных алгоритмов и программ позволяет использовать его в качестве базового способа получения технических гиперповерхностей.

Литература

1.Боровиков И.Ф., Щербинин С.В. Нелинейные преобразования плоскости с пучками слабоинвариантных окружностей: Сб.научных трудов «Приложения начертательной геометрии в инженерных задачах» – Алма-Ата:КазПТИ, 1991. –с.31-35.

2. Боровиков И.Ф., Фисоченко Е.Г. Квадратичные инволюции плоскости как базовый метод получения кривых в системах автоматизированного конструирования //Известия Томского политехнического университета, 2007. - т.310 - № 1. - с. 51-55.