Математика/5. Математическое моделирование

К.т.н. Бруслова О.В.

Филиал Тюменского государственного нефтегазового университета в городе Новый Уренгой, Россия

БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ отказов ГЛУБИННО-НАСОСНОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Условия, сложившиеся в последние годы в нефтедобывающей отрасли, требуют принципиально нового подхода к обеспечению надежности работы скважин. Такой подход должен обеспечиваться новыми методическими решениями.

Одним из таких решений является применение различных организационных форм технического обслуживания и ремонта (ТОР) в зависимости от конкретных условий. Высшим этапом оптимальной организации технического обслуживания является создание необходимой технической базы, требующей внедрения прогрессивных форм организации труда, повышения уровня механизации работ, сокращения затрат труда и средств, а также увеличение производительности скважин. Виды и содержание профилактических мероприятий оказывают наиболее существенное влияние на надежность нефтепромыслового оборудования. Технологические процессы ТОР зависят от характера выполняемых ремонтных работ, используемых технических средств и квалификации рабочих бригад подземного ремонта скважин. Оптимизирующими параметрами являются максимальный коэффициент готовности скважин, оптимальный период проведения ТОР на скважине, минимальные средние удельные затраты на проведение ТОР и максимальная средняя удельная прибыль. В практике эксплуатации промыслового оборудования в зависимости от конкретных условий использования применяются различные организационные формы обслуживания и ремонта. В основном показатель экономической эффективности технического обслуживания строится по тому же принципу, что и показатель технической эффективности, и определяется отношением разности затрат, связанных, соответственно, с проведением ТОР и реализацией исходного уровня надежности к затратам, связанным с реализацией исходного уровня надежности. Этот показатель характеризует экономическую сторону эффективности проведения ТОР, что в большинстве случаев является вполне достаточным для принятий решения по организации эксплуатации нефтегазопромысловых систем. Из определения этого показателя следует, что сравнительный анализ эффективности ТОР может быть осуществлен путем оценки эффективности по отношению к базовой системе. Простое сопоставление этих показателей позволяет судить о степени превосходства одного способа над другим. При эксплуатации нефтепромысловых систем, наряду с коэффициентом технической готовности, целесообразно применять показатели, выражающие стоимостные потери и прибыль.

Целью данной работы является оценка и моделирование технических показателей эффективности применения системы аварийно-планового технического обслуживания и ремонта, и системы ТОР.

Достаточной характеристикой надежности нефтепромыслового оборудования является закон распределения времени безотказной работы, но статистическое определение закона распределения времени безотказной работы связано с большими трудностями.

По данным статистического ряда строятся графики функций показателя надежности. Так как плотность распределения наиболее наглядно отражает особенные черты закона распределения, то на первом этапе строят эту функцию, чтобы по ее форме сделать предположение о виде закона распределения.

При построении статистической функции плотности распределения по оси абсцисс откладывают интервалы статистического ряда. На каждом интервале статистического ряда строится прямоугольник, высота которого равна отношению частоты к ширине интервала.

Гистограмма и вероятность безотказной работы дают представление о распределении показателя надежности, однако всегда присутствует элемент случайности. Поэтому при обработке статистического материала важен подбор теоретического закона распределения.

Теоретический закон подбирают, принимая во внимание физическую природу отказов, форму кривой плотности распределения и коэффициент вариации. Значение коэффициента вариации, позволяющее судить об условиях эксплуатации нефтепромыслового оборудования, определяется по формуле:

,

где s- среднее квадратическое отклонение; - среднее значение периода безотказной работы системы.

В зависимости от величины коэффициента вариации можно установить вид закона распределения, воспользовавшись табл. 1 и 2.

Известно, что при коэффициенте вариации V<0,3 имеет место нормальное распределение, при V>0,5 - распределение Вейбулла. Функция распределения Вейбулла имеет вид

,

где a и b- параметры функции распределения Вейбулла.

Параметр b можно определить в зависимости от коэффициента вариации по таблице 1.

Параметр а находится из выражения

или

где и - коэффициенты, определяемые при известном коэффициенте вариации.

При b=1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при b=2,5÷3,5- близко к нормальному распределению.

Таблица .1

Значения некоторых параметров в функции распределения Вейбулла

b	Kb	Cb	Vb	Po
0,900	1,073	1,199	1,113	0,649
1,100	0,965	0,878	0,910	0,618
1,300	0,924	0,716	0,776	0,594
1,500	0,903	0,613	0,679	0,576
1,700	0,892	0,540	0,605	0,561
2,000	0,886	0,463	0,523	0,544
2,100	0,886	0,443	0,500	0,539
2,200	0,886	0,425	0,480	0,535
2,300	0,886	0,408	0,461	0,531
2,400	0,886	0,393	0,444	0,527
2,500	0,887	0,380	0,428	0,524
2,600	0,888	0,367	0,413	0,520

Распределение Вейбулла является очень гибким законом и широко применяется в теории надежности. Оно хорошо подходит для исследования отказов, возникающих в результате износа и старения, для отказов устройств, состоящих из последовательно соединенных элементов.

Для оценки близости статистического и теоретического распределений применимы критерии К. Пирсона и А. Н. Колмогорова – (критерий ).

Критерий определяется по формуле:

где k- число интервалов статистического ряда;

ni- частота в i-м интервале;

n- общее число значений случайной величины;

Pi- теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

Вероятность попадания случайной величины в i-й интервал равна приращению функции вероятности в этом интервале:

где P_iн и P_iк - значения функции вероятности в конце и в начале i-го интервала.

Рассчитав значение , по таблице 3 в зависимости от числа степеней свободы, определяют вероятность совпадения эмпирического и теоретического распределений. Если c²³0,1, то считают, что статистические данные не противоречат принятому теоретическому распределению.

Число степеней свободы определяем по формуле

r=k-s,

где k- число интервалов; s- число обязательных связей.

Для распределения Вейбулла число обязательных связей принимают равным 3. Поэтому число интервалов статистического ряда должно быть больше или равно 4, а число наблюдений - 30 и более.

Критерий c² применяют при исследовании надежности установок, содержащих большое количество элементов. При этом строят статистическую функцию распределения F*(t) и теоретическую функцию распределения F(t) для распределения Вейбулла. Затем оценивают максимальную величину расхождения между функциями F*(t) и F(t), т.е.

Далее определяют значение l по формуле и находят P(l) по таблице 2.

Таблица 2.

Значение вероятности P(l)

l	P(l)	l	P(l)	l	P(l)
0	1,000	0,700	0,711	1,400	0,040
0,1	1,000	0,800	0,544	1,500	0,022

Продолжение таблицы 2

0,2	1,000	0,900	0,393	1,600	0,012
0,3	1,000	1,000	0,270	1,700	0,006
0,4	0,997	1,100	0,178	1,800	0,003
0,5	0,964	1,200	0,112	1,900	0,002
0,6	0,864	1,300	0,068	2,000	0,001

При распределении Вейбулла доверительные границы рассеивания среднего значения показателя надежности равны и . В зависимости от объема информации и доверительной вероятности определяются коэффициенты r₁ и r₃. Основными характеристиками безотказной работы системы, в частности насосов типа УШСН и УЭЦН, являются интенсивность отказов и вероятность безотказной работы системы.

Для насосов типа УШСН были получены следующие законы распределения: - в НГДУ «Самотлорнефть» и «Приобьнефть». Формулы вероятности безотказной работы примут вид: и .Формулы плотности распределения запишутся следующим образом: и _.

Вычисляем значения следующего выражения для интенсивности отказа:

.

Интенсивности отказов - и , соответственно.

В таблице 3 приведена исходная информация для построения вероятности безотказной работы и интенсивности отказов от наработки месторождения «Самотлорнефть» и «Приобьнефть» для насосов типа УШСН.

Таблица 3

Наработка по времени,сут.	«Самотлорнефть»		«Приобьнефть»
	P(t)	l(t)	P(t)	l(t)
0	1	0	1	0
50	0,782493	0,0024439	0,72101	0,003657
100	0,612296	0,0032247	0,519855	0,004826
150	0,479118	0,0037925	0,37482	0,005675
200	0,374906	0,004255	0,270249	0,006367
250	0,293362	0,0046523	0,194852	0,006962
300	0,229554	0,0050043	0,14049	0,007489
350	0,179624	0,0053225	0,101295	0,007965
400	0,140555	0,0056146	0,073035	0,008402
450	0,109983	0,0058854	0,052659	0,008807
500	0,086061	0,0061388	0,037967	0,009186

Рис. 1. Зависимость вероятности безотказной работы от времени наработки на отказ для насосов УШСН.

Для насосов УШСН, эксплуатируемых в условиях «Самотлорнефть» и «Приобьнефть»,зависимости вероятности безотказной работы от времени для распределения Вейбулла представлены на рис. 1. Показано убывание функций, что говорит о снижении вероятности безотказной работы системы. Например насосы, работающие в условиях НГДУ СН, при t =200 суток имеют вероятность безотказной работы на 27% выше, чем установки на НГДУ ПН.

Рис. 2. Зависимость интенсивности отказов от времени для насосов УШСН

Показано, что интенсивно отказов будет монотонно возрастать со временем, потому что степень s = 1,4 для обоих распределений одинакова. Это свидетельствует об износе оборудования, вызванном условиями эксплуатации и процессами старения глубинно- насосных установок.

Для насосов УЭЦН зависимости аналогичны: - «Самотлорнефть» и - «Приобьнефть». Соответственно функции вероятности безотказной работы - , . Плотности распределения - , . Интенсивности отказов и , соответственно.

В таблице 4 приведены расчетные данные для построения графиков вероятности безотказной работы и функции интенсивности отказов в условиях НГДУ «Самотлорнефть» и «Приобьнефть» для насосов типа УЭЦН.

Таблица 4.

Наработка по времени,сут.	«Самотлорнефть»		«Приобьнефть»
	P(t)	l(t)	P(t)	l(t)
0	1	0	1	0
50	0,808296	0,001603328	0,702452	0,003801
150	0,528095	0,002777046	0,346617	0,006584
250	0,345027	0,003585151	0,171034	0,0085
350	0,225421	0,004242007	0,084395	0,010057
400	0,182207	0,004534897	0,059283	0,010751
450	0,147277	0,004809984	0,041644	0,011404
500	0,119044	0,005070169	0,029253	0,01202

Рис.3. Зависимость вероятности безотказной работы от времени наработки на отказ насосов УЭЦН

Рис. 4. Зависимость интенсивности отказов от времени для насосов УЭЦН

Как видно, аналогичные тенденции наблюдались и для насосов типа УШСН.

Рассмотрим случай, когда время безотказной работы x подчиняется распределению Вейбулла с плотностью f -

_, (1)

и функцией распределения F -

(2)

Тогда оцениваемый показатель надежности R за время t₀ вычисляется по формуле:

(3)

; , .

Расчет с помощью полученных выражений может быть упрощен, если воспользоваться интегралом и образовать функцию

, (4)

где .

После преобразований получим следующие окончательные выражения для оценок показателя R:

(5)

, (6)

где .

Уравнение для определения доверительной байесовской нижней границы имеет вид:

(7)

Проведение расчетов по формулам 4-7 предполагает использование алгоритмических численных методов интегрирования и решения трансцендентных уравнений.

Выражения для байесовских оценок ВБР (вероятность безотказной работы) легко могут быть получены из соотношений 4-7, если их подинтегральные функции умножить на дельта-функцию, принимающую значения во всех точках, кроме заданного значения а. Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получим:

, (8)

(9)
Тогда уравнение для примет следующий вид:

, (10)

где - дисперсия величины ;

- байесовская нижняя g-доверительная граница ВБР (вероятность безотказной работы);

R_в – верхняя граница;

R_н – нижняя граница;

d – число отказов;

w - суммарная относительная наработка при испытаниях, образующая совместно с числом отказов d достаточную статистику к выборке;

k – число плановых остановок;

g - уровень доверия;

t = (t₁, t₂, …, t_n) – выборка значений времени безотказного функционирования объекта при проведении n независимых испытаний;

t^*=(t₁^*, t₂^*, …, t_d^*) – множество моментов отказов из t;

t=(t₁, t₂, …, t_k) – множество моментов приостановок испытаний до отказа из t (множество моментов цензурирования).

Автором предлагается способ получения байесовских оценок ВБР, использующий двухзвенное кусочно-линейное приближение функции ресурса общего вида и показавший высокую устойчивость оценок. Данный расчетный метод выбран из методических соображений. Знание приближения апостериорного распределения, в принципе, позволяет получить любую численную оценку ВБР. Тем не менее, в ряде случаев приходится прибегать к весьма громоздким аналитическим построениям или пользоваться численными методами. Цель настоящей работы состоит в получении конечных аналитических соотношений для оценок ВБР и исследовании их качества.

Байесовские оценки ВБР при t < t₀. В промежутке [0,t₀] значение ВБР в соответствии с принятым способом аппроксимации функции ресурса имеет вид

t≤t₀ .

Для квадратичной функции потерь искомая точечная оценка R*(t) запишется в виде:

,, (11)

где

(12)

Судя по выражению для H_k(t) более удобным в расчетных алгоритмах является использование следующих безразмерных статистик:

(13)

(14)
где .

Использование статистик w и w₁позволяет представить выборку результатов испытаний в виде относительных наработок v_t. Поэтому в дальнейшем в качестве исходных данных будем использовать вектор v ={v*, v'}, где— вектор относительных моментов отказа, — вектор относительных моментов приостановок испытаний.

Статистика w представляет собой суммарную относительную наработку при испытаниях, а статистика w₁ — суммарную относительную наработку после момента t₀.

Окончательные выражения для оценок (11) теперь могут быть записаны

следующим образом:

(15)

(16)

Функция тождественна функции H_k (t), причем вместо t используется безразмерный параметр u= t/t₀, и записывается в следующем конечном виде:

. (17)

Запишем следующее уравнение для определения R_g^*:

. (18)

Таким образом, получим байесовские оценки ВБР при t > t0.

Вывод выражения для апостериорной дисперсии аналогичен. Введем функцию

, (19)

.

Конечные выражения для оценок и через функцию (19) записываются следующим образом:

(20) и (21)

Литература

1. Савчук, В.П. Байесовские методы статистического оценивания: Надежность технических объектов. [Текст] /Савчук В.П.– М.: Наука. Гл. ред. Физ.- мат. лит., 1989. – 328с.

2. Кучумов,Р.Я., Модели надежности функционирования нефтепромысловых систем./ Под редакцией Р.Я. Кучумова – Тюмень: Издательство «Вектор Бук», 1999.- 135 с.

3. Кучумов, P.P., Бруслова, О.В. Исследование экономических показателей системы технического обслуживания при извлечении электронасосов. – Тюмень: Вектор бук, 2000.

4. Кучумов, Р.Я., Пчелинцев, Ю.В. Моделирование системы ТОР скважинного оборудования в осложненных условиях эксплуатации. – Тюмень, Вектор Бук, 2000 – 115с.