Лебедев В.А.

Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск, Россия

ОШИБКИ РАСЧЕТА УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИЗЛУЧЕНИЯ МЕЖДУ ПОВЕРХНОСТЯМИ ПЕРЕМЕННОЙ КОНФИГУРАЦИИ И «ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА»

Предлагаемое исследование позволяет обойти возможные затруднения в расчетах при проектировании энергетических промышленных установок и их отдельных узлов и даже избежать существенных энергетических потерь, допущенных из-за невнимания к фактору, рассмотренному ниже.

При исследовании теплообмена излучением между поверхностями часть лучистой энергии, испускаемой одной поверхностью A, достигающая другой поверхности A, называется угловым коэффициентом излучения F (УКИ). Он характеризует долю энергии, попавшей на облучаемую поверхность, которая зависит от формы и взаимного расположения поверхностей. При вычислении УКИ обычно рассматриваются «черные» поверхности, но результаты имеют более общий характер, так как с учетом простых поправок они применимы для любого диффузного равномерно распределенного излучения, испускаемого поверхностью [1]. Эта геометрическая зависимость приводит к некоторым известным элементарным соотношениям УКИ, которые приводятся в научной и справочной литературе. Там же рассматривается и применение УКИ в инженерных задачах теплообмена излучением между поверхностями.

Соотношение для теплообмена излучением двумя поверхностями можно применять к любому числу поверхностей, образующих замкнутую систему и имеющих различную температуру. Предлагаемые в научной литературе выводы в общем виде систем уравнений, описывающих теплообмен внутри замкнутой системы, примеры и общие представления в дальнейшем обобщаются применительно к системам с диффузно-серыми поверхностями, а затем рассматриваются и более сложные системы. Это составляет теоретическую основу последующего материала, относящегося к менее идеализированным поверхностям [1], к исследованию потоков энергии излучения в инженерных системах различной сложности.

Данное сообщение связано с рассмотрением УКИ систем с поверхностями, геометрические параметры которых зависят от времени t (например, в топочных устройствах, конфигурация внутренних объемов которых меняется по мере выгорания топлива). В работе, следуя принципу исследования «от простого к сложному», рассматривается в рамках дифференциального исчисления простая излучающая система с УКИ F от элемента плоскости dA к параллельному ему плоскому квадрату A со сторонами длины a, когда нормаль c к элементу dA проходит через угол квадрата A с площадью S= a, рис.1. Для прямоугольника с площадью S= ab, имеющего стороны a и b (a ≠ b), УКИ подобной излучающей системы с неизменными геометрическими параметрами известен [2]:

(1)

Упростим систему до случая a = b. Тогда из формулы (1) для УКИ от площадки dA к квадрату A следует

. (2)

При сохранении пропорциональности всех геометрических соотношений ни численные значения, ни аналитическая форма представления УКИ (1) и (2) не меняются. При сохранении лишь взаимной перпендикулярности отрезков a, b, c, но при нарушении соотношений длины этих отрезков численные значения УКИ, полученных по формулам (1) и (2), очевидно должны изменяться в силу их зависимости от длины указанных отрезков.

Предположим, расстояние от излучателя с элементарной площадью dS до угла облучаемого квадрата остается неизменным (с = const), а длина сторон a может получать приращение da за время dt. В этом случае из (2) следует, что численное значение УКИ F в заданный момент времени зависит от величины переменной длины a(t) и от изменения площади S(t) = (a∙a) облучаемого квадрата со скоростью dS/dt в данный момент времени. Если элементарное приращение площади (ab) прямоугольника с переменными сторонами a и b выглядит в силу известной формулы дифференциала произведения:

dS = d(ab) = adb + bda, (3)

то элементарное приращение площади (а·а) квадрата S∩S равно в этом случае

d(aa) = 2ada. (4)

Тогда, опуская простые, но громоздкие выкладки, и определив скорость приращения отрезка a (в случае равномерности этого процесса) за отрезок времени t выражением v= da/dt = const, из формулы (2), полученной для стационарной системы, где все геометрические параметры сохраняют неизменные соотношения, получаем УКИ F(t) для каждого момента времени, определяемого длительностью временного периода t:

(5)

При v= const можно записать v= da/dt = Δa/Δt, тогда Δa = а при Δt = 1. Так может изменяться за единичный отрезок времени сторона облучаемого квадрата. Следовательно, за отрезок времени Δt = n она изменится на длину v∙Δt = an.

Если за начальные значения геометрических параметров системы принять а = с = 1, то начальное значение УКИ F(t) будет

,

а последующие во времени значения этого УКИ должны были бы определяться выражением

Зависимость УКИ F(t) от времени при заданных условиях представлена на рис.2, график 1. Полученная зависимость F(t) от времени (Δt = n) показывает, что казалось бы очевидные рассуждения, предложенные выше, приводят к абсурдному результату: начиная с целочисленного значения n = 13 (на графике 1 не показано), УКИ F(t) превышает значение, равное 1, и растет в дальнейшем со временем, что противоречит физическому и геометрическому смыслу УКИ.

Рис. 2

Причина этого в том, что использованная в выводе формула (4) характеризует приращение площади, складывающееся из двух прямоугольников со сторонами, равными a и da. Эти прямоугольники примыкают к сторонам квадрата, но не являются его полным приращением, которое в действительности выглядит следующим образом:

dS = (S + dS) – S = ((a + da)(a + da)) – a·a = 2ada + da·da.

Эта формула отличается от (4) на величину da·da, пренебрегая которой, приходим к существенным ошибкам при геометрических расчетах.

Итак, видно, что, оперируя приращениями длины отрезков, имеющих первоначальную величину a и b, нельзя в рамках дифференциального исчисления пользоваться в нашем случае привычным соотношением (3) (так называемой «формулой Лейбница») для вычисления площадей излучающих поверхностей и их УКИ, так как оно приводит к ошибочным и даже абсурдным результатам в случаях, когда изменение длины каждого из отрезков происходит с конечными скоростями и протекает в течение конечного промежутка времени.

Следует отметить, что обсуждавшаяся в полемике между Ньютоном и Лейбницем по поводу математической сути выражения d(ab) формула

d(ab) = dadb

также приводит в нашем случае к приближенному результату

,

но с отклонением от точного решения, уменьшающимся по мере увеличения длительности процесса роста отрезков a и b со скоростями da/dt и db/dt, рис.2, график 2. Точное же решение в рамках дифференциального исчисления, которое представлено следующим выражением

,

и которому соответствует рис.2, график 3, можно получить лишь с помощью применения точной формулы

d(ab) = adb + bda + dadb.

Определенная неточность формулы (3), вызвана ее приближенностью. Об этом свойстве «формулы Лейбница», к сожалению, не напоминают математические справочные издания, в частности, в справочнике [3] при наличии в нем соответствующего раздела для приближенных вычислений и формул «формула Лейбница» к приближенным не отнесена. В нашем случае это приводит к неверному определению соотношения площадей облучаемых и излучающих поверхностей. Подобного рода огрехи в геометрических расчетах приводят иногда к широкому распространению существенных ошибок при определении УКИ целого ряда стабильных излучающих систем с поверхностями различной формы. Например, полученные в [4] ошибочные значения УКИ для ряда полостей различной конфигурации попали в виде графиков в популярную книгу, посвященную проектированию и конструированию космических и наземных солнечных электростанций [5], оттуда ссылки на эти графики – в авторитетную монографию [6], в ее русский перевод [1], затем в справочник [7], в последующее переиздание [8] монографии [6] и в обширное справочное издание [9], широко используемое ныне через систему Internet.

Эти значения УКИ, предложенные в [5] для применения при создании электростанций с использованием энергии солнечного излучения, отличаются на порядок и более(!) от истинных в меньшую сторону. Это приводит при расчетах к неучету более 90% тепловых потерь через свободные (неэкранированные) отверстия из излучающих полостей различной конфигурации (цилиндрических, конических, сферических, полусферических).

На ошибочность этих материалов по УКИ, полученных в [4] и представленных в [5], было указано в работе [10]. На это же, а также на другие ошибки в других публикациях предполагалось указать в справочном издании [11] в соответствующих разделах, где изображения моделей излучающих систем с ошибочными характеристиками были выделены графически. При исключении из книги [11] (в ходе ее подготовки к печати) материала, посвященного типичным ошибкам, графические данные из [5], приведенные в ней, не были удалены по техническому недосмотру. Но этот недостаток указанной книги может иметь лишь непринципиальное иллюстративное значение, т.к. в [11] приведена верная аналитическая форма представления УКИ для таких излучающих систем.

Отметим, что при рассмотрении излучения от меньших поверхностей к большим, значения УКИ при указанной выше ошибке в обсуждаемых здесь примерах завышаются, а от больших к меньшим – занижаются.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975. 934с.

2. Hamilton D.C., Morgan W.R. Radiant-interchange Configuration Factors, NASA, TN-2836. 1952.

3. Бронштейн И., Семендяев А. Справочник по математике. М., 1964. 608с.

4. Stephens C/W., Hair A.M. Internal Design Considerations for Cavity Type Solar Absorbes. J. Am. Rocket Soc., 1961, 31: 896-901.

5. Kreith S. Radiation Heat Transfer, Scranton, Pa., International Textbook Co., 1962. 236 p.

6. Siegel R., Howell J.R. Thermal Radiation Heat Transfer, New York etc., McGraw-Hill Co., 1972. 814p.

7. Howell J.R. A catalog of radiation configuration factors. N.Y.- San Francisco – Toronto: McGrow-Hill Book Co. 1982. 248 p.

8. Siegel R., Howell J.R. Thermal Radiation Heat Transfer, 4th ed., Washington, Taylor and Fracis-Hemisphere, 2001.

9. Howell J.R. A catalog of radiation heat transfer configuration factors. The University of Texas at Austin. Austin, Texas, 2001.

10. Лебедев В.А. Некоторые геометрические свойства нестационарных излучающих систем и аналитические формы представления угловых коэффициентов излучения, подчиняющихся правилу инвариантности. XXVIII Сибирский теплофизический семинар. Ст. № 073, Новосибирск, 2005.

11. Рубцов Н.А., Лебедев В.А. Геометрические инварианты излучения. Новосибирск. 1989. 244с.