Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПОПЛАВКОВОГО ПОДВЕСА

Пусть на поплавок, наклонно к его продольной оси, падает плоская звуковая волна проникающего излучения (рис. 1)

(1)

Вектор , определяющий направление падающей волны, лежит в плоскости . Амплитуда принята равной единице.

Задача дифракции формулируется следующим образом. На поплавок гироскопа падает волна . В результате рассеяния возникает новое поле , которое можно представить в виде

, (2)

где - рассеянное поверхностью поплавка звуковое поле. Требуется определить таким образом, чтобы полное поле на поверхности поплавка удовлетворяло одному из следующих граничных условий:

, дифракция звука на абсолютно мягкой поверхности (задача Дирихле);

, дифракция звука на абсолютно жесткой поверхности (задача Неймана);

, дифракция звука на импедансной поверхности (смешанная краевая задача). Здесь для гармонического колебательного движения.

Величина импеданса поверхности определяется отношением звукового давления к нормальной составляющей колебательной скорости (со знаком “минус”), то есть

. (3)

Выбор знака обусловлен следующим обстоятельством. У выпуклой поверхности нормаль направлена наружу и положительное значение колебательной скорости также направлено во внешнюю область “2” (рис.1). С другой стороны, при положительном звуковом давлении у поверхности , она будет стремиться прогибаться во внутреннюю область “1” и колебательная скорость будет отрицательной. Чтобы устранить это противоречие, вводится отрицательный знак.

Для вогнутой поверхности поплавка, нормаль направлена во внутреннюю область “1” и в формуле (3) берется знак плюс. Выразив потенциал через звуковое давление и колебательную скорость, получим соотношение

,

где - коэффициент; - плотность среды.

Четвертая краевая задача

называется смешанной. Из нее, как частные случаи, , , , следует, соответственно, первая, вторая и третья задачи.

Существует еще обширный класс проблем, для которых граничные условия являются более сложными и зависят не только от первой производной потенциала, но и от производных более высоких порядков. В общем случае такие граничные условия можно записать в виде

,

где - дифференциальный оператор, определяющий свойства поверхности. Если , , , то получаются записанные выше граничные условия.

Реальные поверхности являются упругими, поэтому указанные выше граничные условия должны рассматриваться, как соотношения, приближенно характеризующие свойства поверхности поплавка.

Звуковое поле вне поплавка , зона “2”, то есть результат наложения звукового поля падающей волны , рассеянной цилиндром и излучаемого упруго колеблющейся поверхности , т.е.

, (4)

где

;

;

;

- волновое число; - коэффициенты; - цилиндрические функции; 1 – амплитуда падающей волны.

Поле внутри поплавка, то есть в зоне “1”, есть результат излучения звука его колеблющейся поверхностью во внутреннюю область –

,

где - коэффициент; - волновое число внутренней полости.

Окончательный вид звуковых полей в зонах “2” и “1” можно представить после отыскания коэффициентов , :

; (5)

(6)

где - механический импеданс:

;