Гнатейко Н.В.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
ВОПРОСЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ УПРУГОСТИ ПОДВЕСА ГИРОСКОПА
Анализ механизма прохождения волны аэродинамического шума звуковой
частоты показывает, что наиболее опасными с точки зрения увеличения погрешности
прибора являются упругие перемещения элементов поверхности в плоскости
шпангоута. В направлении образующей цилиндра они существенно меньше как по
величине, так и по степени влияния на динамику гироскопа. Поэтому достаточно
ограничиться изучением двумерной задачи.
Дифференциальные уравнения упругой цилиндрической поверхности запишем в
виде:
;
(1)
,
где - коэффициент (
,
- толщина и радиус цилиндрической оболочки);
и
- соответственно тангенциальная и радиальная составляющие
перемещения боковой поверхности (рис. 1);
;
- центральный угол;
- длина цилиндра.
Граничные условия
зададим в виде:
;
; (2)
.
Пусть в начальный момент времени с упругой оболочкой начинает
взаимодействовать волна давления –
, (3)
где - амплитуда плоской монохроматической волны;
- координаты точки
поверхности;
;
;
- косинус угла между нормалью
к фронту плоской
волны и
-нормалью к поверхности.
Рис. 1. Дифракция звука на упругой оболочке
Решение систем
уравнений (1) и (2) будем искать в виде рядов Фурье функций и
в прямоугольнике
(4)
В соответствии с
принятыми граничными условиями, ряд Фурье по переменной строится в виде –
(5)
здесь – числа полуволн в плоскости шпангоута и продольной соответственно.
Вычислим коэффициенты Фурье функции в прямоугольнике (4):
, (6)
где
(7)
Полагая, что , получим –
(8)
Таким образом, выражение (6) можно преобразовать к виду –
, (9)
если .
В окончательном виде соотношение (3) представляется так –
(10)
Если подставить (5) и
(10) в исходную систему дифференциальных уравнений (1), то получим:
(11)
где ;
.
При эта система уравнений
преобразуется:
(12)
Отсюда следует, что если
(13)
то . Если же, наоборот,
(7.14)
то может принимать
произвольные значения.
Вследствие этого, в качестве исходного, зададим –
при
сформированном выше ограничении .
Коэффициенты без особых затруднений
найдутся из выражений (12) –
, (15)
причем
выполнение условия (13) здесь не обязательно.
Вычислив определитель системы (11)
(16)
при условии,
что он не равен нулю (), несложно найти и искомые неизвестные величины:
(17)
где ;
.
Теперь, с учетом сказанного выше, можно установить значения тангенциальной
и радиальной
составляющих перемещений элементов поверхности цилиндрической
части поплавка при воздействии на нее плоской монохроматической волны давления
–
(18)
Полученные
соотношения позволяют провести качественную и количественную оценку возникающих
волновых процессов. Так, очевидно, что при некоторых условиях одновременно
будут исчезать и тангенциальная, и радиальная составляющие перемещений. Этими
условиями можно считать соотношения –
,
что
соответствует присутствию форм .