Математика/1

Рашевський М.О.

Криворізький технічний університет

Асимптотика розв’язку лінійної системи інтегро-диференціальних рівнянь типу Фредгольма із точкою повороту

Розглянемо систему вигляду

(1)

де x(t, e) – шуканий n – вимірний вектор, A(t, e) та K(t, s, e) – n ´ n – матриці, що зображуються збіжними рядами за степенями дійсного малого параметра e > 0: . Асимптотику розв’язку задачі Коші x(0, e) = x₀ (2)

для системи (1) та для систем більш загального вигляду побудовано на проміжку t Î [0, L], L < ¥ у ряді досліджень (див. [1]). При цьому вимагалося, щоб корені характеристичного рівняння R(l, t, 0) = 0 зберігали постійну кратність на досліджуваному проміжку; R(l, t, e) º det(A(t, e) - lE), E – одинична матриця. У ряді практичних застосувань систему (1) необхідно досліджувати при наявності нестабільностей у спектрі матриці A(t, 0) [2, 3], і, зокрема, точок повороту (ТП) [4]. У цій роботі методи [4], розроблені для систем звичайних диференціальних рівнянь, застосовуються для інтегрування системи (1) із ТП.

Вимагатимемо виконання таких умов.

1⁰. Матриці A_p(t) та K_p(t, s) є нескінченно диференційовними відповідно на проміжку [0, L] та в квадраті D = {0 £ t, s £ L}; p ³ 0.

2⁰. Корені характеристичного рівняння R(l, t, 0) є різними при t Î (0, L] і збігаються при t = 0.

Формальний розв’язок системи (1) шукатимемо у вигляді

, (3)

де z(t, e) – n – вимірний вектор, U(t, e) та P(t, s, e) – невідомі n ´ n –матриці. Підставляючи (3) у рівняння (1), після зміни порядку інтегрування в повторному інтегралі, дістанемо:

Матриці U(t, e) та P(t, s, e) будуватимемо так, щоб мали місце тотожності

Про матрицю W(t, s, e) сказано далі. Побудова матриць U(t, e) та P(t, s, e) істотно залежить від характеру нестабільності спектра матриці A₀(t). Розглянемо випадок майже діагональної [4] матриці A(t, e). Нехай виконується умова

3⁰. A₀(0) є нульовою матрицею.

У цьому випадку вироджена система, отримана із (1) при e = 0 має розв’язки в класі узагальнених функцій [5]. З останньої умови випливає існування неособливої матриці T(t) такої, що

T ^-1A₀(t)T = diag {l₁(t), l₂(t), …, l_n(t)} = L(t); L(0) – нульова матриця.

Будуватимемо невідомі матриці у вигляді Щоб задовольнити тотожність (4), розв’яжемо систему матричних рівнянь методом [4].

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях e у тотожності (5), дістанемо нескінченну систему матричних інтегральних рівнянь

Записані системи є системами інтегральних рівнянь Фредгольма третього роду вигляду Будуватимемо розв’язок останньої у вигляді P(t) = Cd_p(t) + Y(t), де C – стала матриця, d _p(t) – «права дельта – функція» [5], Y(t) – матриця із неперервними елементами. Підставляючи матрицю P(t) в систему, дістанемо рівність

Поклавши в цій рівності t = 0, маємо: З останньої рівності знаходимо

Після такого визначення матриці C знайдемо Y(t) із системи яка є системою Фредгольма другого роду із неперервними коефіцієнтами (t = 0 - точка усувного розриву). Нехай Y(t) – неперервний розв’язок останнього рівняння. Тоді матриця C визначиться нульовою, якщо

Виходячи з цих міркувань, будуватимемо W_k(t, s, e) так, щоб забезпечити неперервність елементів матриці P_k(t, s, e).

Невідомий вектор z(t,e) визначиться із системи

,

а початкові умови - із рівності .

Застосувавши до останньої системи міркування [6], доведемо наступне твердження.

Теорема. Якщо виконуються умови 1⁰-3⁰ і функції Re(l_i(t) - l_j(t)) на проміжку побудови асимптотики не змінюють знаку, то задача (1), (2) має формальний розв’язок вигляду (3), причому для деякого точного розв’язку x(t, e) і отриманого із (3) m – наближення x_m(t, e) (x_m(0, e) = x₀) справджується рівність

,

де C – стала, що не залежить від e, а q – кратність ТП.

Література:

1. Завізіон Г.В. Асимптотичне інтегрування систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженнями // УМЖ.- 1999.- № 2.- С. 170 - 180.

2. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 400 с.

3. Новаковская Л.И. Задача Коши для сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения с нестабильным спектром // ДУ.- 1989.- 25, № 9.- С. 1606 - 1611.

4. Wasow W. Linear Turning Point Theory. – N.Y.: Acad. Press, 1985. – 246 p.

5. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. - Фрунзе: «Илим», 1981. – 144 с.

6. Старун І.І., Шкіль М.І. Побудова розв'язків лінійних та квазілінійних сингулярно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь // Асимптотичні методи в диференціальних рівняннях: Зб. наук. праць. - К.: Вища шк., 1993.- с. 141 – 157.