К.т.н. Пеньков А.П., Емельянов Д.С.

Днепропетровский национальный университет

Разработка вариантов задания траектории самодвижущихся роботов

Постановка задачи Требуется связать поверхность сферы (эллипсоида) с моделью поверхности, которая может быть формально представлена в виде прямоугольной матрицы.

Для этого сопоставляем поверхность сферы с плоскостью (фигурой на плоскости) и прямоугольной системой координат. Допустимы некоторые искажения: не каждая точка сферы будет иметь соответствие на плоскости. Однако каждый из определённых участков сферы будет иметь участок соответствия на плоскости.

Решение задачи Можно представить следующие варианты такого сопоставления:

1. Раскрой теннисного мяча [1]

2. Упростим сферу до многогранника:

2.1. Икосаэдр [2] – правильный многогранник. 20 равносторонних треугольников

2.2. Усечённый икосаэдр (футбольный мяч). 12 5-угольников и 20 6-угольников

3. Картографические проекции [3]

3.1. цилиндрическая равноугольная проекция Меркатора

Сохраняет углы и формы бесконечно малых фигур, длины сохраняются на экваторе. Уже ложится на прямоугольную координатную сетку.

3.2. коническая равнопромежуточная проекция

Длины сохраняются вдоль меридианов и вдоль параллелей с широтами

3.3. азимутальная равновеликая проекция

Площади фигур на карте пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре. Длины сохраняются в центральной точке

3.4. поликоническая произвольная проекция ЦНИИГАиК

Длины сохраняются вдоль параллелей с широтами

4. Сферические (полярные) координаты [2].

5. Грубая разрезка сферы

5.1. Четверть сферы

5.2. Восьмая часть

6. Проведение преобразование отображения дискеты в памяти

Проведём рассмотрение некоторых из перечисленных вариантов.

Преобразование отображения поверхности дискеты в памяти

Дискета. Математическая модель	Сопоставление модели с памятью
Рис. 1.

Формализовали преобразование круга в трапецию:

1. Вычесть из круга радиусом R круг радиуса r

2. Разрезать круг по радиусу

3. Развести радиусы

Получили трапецию:

Рис. 2.

По подобному алгоритму производим приведение сферы к двум трапециям.

Рассмотрим формальное преобразование, сопоставляющее поверхность сферы с фигурой на плоскости.

Рис. 3.

На рис. 3: изображение 1 – исходная сфера с вырезаемой «трубой»; 2 – 1 с вырезанной «трубой»; 3 – 2 с «разводящимися краями» сферы; 4 – результирующее подобие двух «трапециевидных полусфер» в памяти.

Рассмотрим грубую разрезку поверхности сферы на приблизительно равновеликие участки

Разбиение поверхности сферы на полоски, разделяемые на трапеции (в идеале – на квадратные участки).

"Южное" полушарие

"Северное" полушарие

Рис. 4.

Полоски выберем одинаковой ширины. Разбиение на 6 полосок «южного» и «северного» полушарий.

Площадь первой полоски больше второй в раз. Вторая больше третей в раз. Путём подбора площадей полосок, нашли примерное разбиение полушария:

№ полоски	Количество частей	Площади частей
1	16	0,0625
2	12	0,061
3	4	0,67

1. Сопоставление полученного разбиения с моделью в памяти.

Получили матрицу для «северного» полушария:

Рис. 5.

Объединив «северное» и «южное» полушария, введём условные буквенно-цифровые обозначения получим следующее схематическое представление:

Рис. 6.

Отобразим полученное разбиение в виде проекций полушарий на экваториальную секущую плоскость – рис. 7.

Рис. 7.	Рис. 8.

Зададим способ обхода полученной модели в памяти (в соответствии со стрелками) – рис. 8.

Полученные преобразования моделируют отображения поверхности сферы робота с плоской контактной поверхностью и последующим переносом на модель памяти, например, дискеты. Полученные «плоскостные» модели поверхности контакта сферы с опорой позволяют применить методологию размещения элементов траектории на плоской поверхности периферийных устройств ЭВМ. Рассмотрим преобразование S_сл в "матрицу двоичных эквивалентов" для первого указанного способа задания траектории:

S_сл представлена через траекториюкак явную функция от событий в системе трёх координат :

1.1. Разложим данную функцию на составляющие, описав проекции функции на оси координат . Получили непрерывные функции проекций.

1.2. Преобразуем полученные непрерывные функции проекций в необходимые и достаточные кусочно-линейные аппроксимации. Они представляются координатами точек отрезков в виде десятичных значений .

Предлагается в качестве элементов аппроксимации использовать множество отрезков – "алфавит описания траектории"–, которые определяются разностью между их концом и началом. Множества задаются условиями необходимости и достаточности.

С использованием "алфавита описания траектории" аппроксимации S_сл представляются "символами" в виде дискретных значений алфавита .

Тогда исходная траектория будет представлена в виде последовательности "символов описания траектории".

Преобразование в двоичное представление "алфавитов описания траектории" является "программированием языка робота". Полученная "таблица символов" рационально реализуется в соответствующей типовой интегральной схеме постоянной памяти.

Детальное рассмотрение описания преобразования имеет смысл осуществить для конкретной формы пути.

Литература

1. Наука и жизнь: – М.: изд-во "Правда", 1988, №10, стр. 80

2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике: – Л: ОГИЗ, Гостехиздат

3. Советский энциклопедический словарь: – М.: изд-во "Советская энциклопедия", 1980