Секция 19-ТН/2. «Механика»

Антонов Б. И.

Одесский национальный морской университет

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ БРУСА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

При исследовании различных конструкций широко применяются расчетные схемы в виде изолированных брусьев или систем взаимодействующих в узловых точках брусьев. В некоторых расчетных схемах конструктивные элементы имеют переменное по длине сечение. Исследование свободных колебаний таких систем представляет сложную математическую проблему, анализ которой в большинстве случаев возможно выполнить только численными методами.

Целесообразно для решения указанной задачи применить метод конечных элементов. Для этого необходимо располагать матрицами жесткости и масс конечного элемента (КЭ) бруса переменного сечения. Процедура получения элементов указанных матриц жесткости и масс описана в работе [1]. Рассмотрен КЭ бруса, в каждом естественном узле которого предусмотрено по две степени свободы: нормальное перемещение и угол поворота сечения (рис. 1). В этом случае вектор-столбец узловых перемещений КЭ имеет структуру

, (1)

где - время.

Принятая структура вектора-столбца (1) позволяет представить функцию нормального перемещения точек оси КЭ в виде

, (2)

где - матрица-строка координатных функций;

- квадратная матрица преобразования.

Рис. 1. Конечный элемент бруса переменного сечения

Изменение площади и центрального момента инерции поперечного сечения бруса принято в виде:

Клиновидная форма (рис. 2,а) Коническая форма (рис. 2,б)

; ,

где - длина КЭ; - площадь и центральный момент инерции левого торцевого сечения КЭ ; ; (рис.2).

Предполагается, что брус связан с упругим основанием. Рассмотрена модель упругого основания Фусса-Винклера. Помимо поперечной нагрузки брус может быть нагружен постоянными осевыми силами .

На основании зависимости (2) и перечисленных допущений получены выражения для вычисления элементов матрицы жесткости и матрицы масс

конечного элемента бруса переменного сечения.

Рис. 2. Типы конечных элементов бруса переменного сечения

Уравнение движения упругой системы без сопротивления имеет вид [1]

, (3)

где - матрица жесткости и - матрица масс бруса (ансамбля КЭ) в общей системе координат; - вектор узловых перемещений бруса в общей системе координат; - вектор узловых ускорений; - вектор действующих на брус внешних узловых сил в общей системе координат.

Из уравнения движения (3) нетрудно получить, приняв , матричное уравнение для исследования свободных колебаний упругой системы без сопротивления

, (4)

где - вектор амплитуд узловых перемещений в общей системе координат; - собственные частоты упругой системы.

Решение уравнения (4) может быть выполнено с использованием алгоритма, рассмотренного в работе [2].

Для иллюстрации применения рассмотренного КЭ бруса переменного сечения решена задача: определена наименьшая собственная частота поперечных колебаний бруса прямоугольного сечения единичной ширины, имеющего форму клина (рис. 3), которую можно вычислить по формуле

.

В расчете использованы следующие данные: длина бруса = 2,4 м, высота левого торцевого сечения = 0,2 м, модуль упругости материала бруса =210 ГПа, плотность материала = 7,85 .

В табл. 1 приведены значения множителя .

Таблица 1 Таблица 2

Число КЭ Число КЭ

2 5,312 2 4,370

4 5,313 4 4,360

8 5,318 8 4,360

Для рассматриваемого бруса имеется точное решение Кирхгофа (приведено в работе [3]): .

Расхождение сравниваемых результатов не превышает 0,056%.

Для бруса конической формы (рис. 3:), длина которого = 2,4 м, радиус левого торцевого сечения = 0,1 м, модуль упругости =210 ГПа и плотность материала = 7,85 , получена величина первой собственной частоты поперечных колебаний, которую можно вычислить

по формуле

.

В табл. 2 приведены значения множителя .

Для рассматриваемого бруса имеется точное решение Кирхгофа (приведено в работе [3]):

Расхождение сравниваемых результатов не превышает 0,023%.

Рис. 3. Расчетная схема бруса переменного сечения

Литература:

1. Антонов Б. И. Решение статических и динамических задач для бруса переменного сечения методом конечных элементов // Вісник Одеського національного морського університету. Вип. 17. - Одеса.: Вид-во ОНМУ. - 2005 . - С. 271 - 281.

2. Антонов Б.И. Об одном алгоритме решения обобщенной проблемы собственных значений // Современные проблемы судостроения и судоремонта [ОИИМФ].– М.: В / О «Мортехинформреклама», 1991. С. 78 – 81.

3. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. – М.: Машиностроение, 1985. – 472 с.