Економічні науки/8 Математичні методи в економіці

Скрильник І.І., Фокіна О.В.

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка, Україна

ОПТИМІЗАЦІЇ ВАЛЮТНИХ РЕЗЕРВІВ В УМОВАХ РИЗИКУ

Валютний резерв створюється для стабілізації інфляційних процесів та підтримання зовнішньоекономічних зв’язків. Він складається з валют різних видів та періодично переформовується, що здійснюється тоді, коли змінюється відносна цінність різних валют. У разі зростання відносної цінності, частина такої валюти в резерві повинна збільшуватись. Це дає загальну можливість максимально оптимізувати загальну цінність цього резерву.

Відносна цінність валют визначається через її курс таким чином, щоб відносна цінність усіх валют, які входять до резерву, дорівнювала одиниці.

Отже, оптимальне керування валютним резервом полягає у визначенні кількості валют, для яких цінність усього резерву буде найбільшою.

Якщо відомі такі параметри, як цінність кожної валюти та її кількість у певний період, то можна розробити математичну модель за наступними варіантами:

1. Майбутня відносна цінність кожної валюти відома;

2. Майбутня відносна цінність кожної валюти не відома, але є дані про курси валют за попередні періоди;

3. Майбутня відносна цінність кожної валюти не відома, але відомі її нижня та верхня межі.

У залежності від того, що ми знаємо про відносну цінність, є три відповідні варіанти задачі:

1. Детермінований – величина вважається відомою;

2. Варіант ризику – величини невідомі, але ми можемо визначити їх математичні сподівання та дисперсії;

3. Величини невідомі, відомі лише їх нижні та верхні межі (варіант невизначеності).

Нас цікавить формування валютного резерву в ситуації ризику, де значення цінностей невідомі, але є статистичні дані за кілька періодів, на основі яких для кожного виду валюти ми можемо визначити математичне сподівання та дисперсію відносної цінності цієї валюти. Отже, перейдемо безпосередньо до формування економіко-математичної моделі.

Відомі параметри:

N – кількість валют, з яких можна створити резерв;

i, j – індекси, тобто N валют;

ν_ij – коефіцієнт переведення, який показує скільки валют і-того виду слід витратити, щоб одержати одиницю валюти j-того виду.

Некеровані параметри:

– майбутня відносна цінність однієї і-тої валюти.

Керовані змінні:

x_ij – кількість валюти і-го виду, яка використовується для придбання валюти j-того виду;

y_j – кількість валюти j-того виду, яка буде у валютному резерві після його переформування;

a_i – кількість валюти і-того виду, яка знаходиться у валютному резерві до переформування;

v – загальна цінність переформованого резерву.

(1)

Дана задача є двокритеріальною. Першим критерієм є математичне сподівання () загальної цінності. Його бажано зробити найбільшим. Другим критерієм є дисперсія (σ_j²) загальної цінності. Її бажано зробити найменшою. Для розв’язання цієї задачі ми визначаємо загальний критерій на основі двох даних критеріїв.

(2)

Розв’язавши дану задачу, ми отримуємо оптимальний план, для якого визначене середнє значення і дисперсія.

Отриманий розв¢язок передається на затвердження особі, що приймає рішення, яка може або погодитися з цим планом, або визначити інші межі для середньої цінності дисперсії.

Позначимо через і ті межі для середнього значення й дисперсії, що отримані від особи, яка приймає рішення. Вони можуть бути реальними або нереальними. Якщо ці межі реальні, то ми повинні визначити можливість їх покращення, якщо ж вони нереальні, то повинні їх скоригувати так, щоб вони стали реальними, але прийнятними до особи, що приймає рішення, а потім розв’язати задачу і передати оптимальний план на затвердження.

Для перевірки даних на реальність ми вводимо додаткову змінну t. Ця змінна характеризує якість плану по відношенню до вимог особи, що приймає рішення. Найбільшим значенням цієї змінної є 1.

Значення означає, що ми можемо не тільки виконати вимоги замовника, а й досягти максимального середнього значення й мінімальної дисперсії.

Значення означає, що вимоги замовника реальні і їх можна покращити.

Значення означає, що вимоги реальні, але покращити їх не можна.

Значення означає нереальність вимог замовника.

Особливістю змінної t є те, що вона включається як до критерію так і до обмеження. Значення цієї змінної визначається як розв’язок задачі (3, 4):

;	(3)
	(4)

деозначає, що план є допустимим, тобто задовольняє обмеженням початкової задачі.

Знайдене значення t використовуємо при розв¢язанні наступної задачі :

;	(5)
	(6)

Розглянемо дану задачу на конкретному прикладі. За вже відомими курсами трьох валют за дванадцять періодів складаємо їх відносну цінність (табл. 1).

Таблиця 1

Відносна цінність валют

Періоди	Валюта (відносна цінність)
	1	2	3
1	0,09	0,41	0,50
2	0,09	0,42	0,49
3	0,09	0,42	0,49
4	0,09	0,41	0,49
5	0,09	0,41	0,49
6	0,09	0,41	0,49
7	0,09	0,41	0,49
8	0,09	0,41	0,49
9	0,10	0,38	0,51
10	0,10	0,37	0,52
11	0,10	0,36	0,53
12	0,10	0,34	0,52
δ	0,09	0,40	0,50
Середнє відхилення	0,01	0,03	0,02
13	0,436662523	0,354473	0,523143853

Визначаємо прогнозоване значення відносної цінності за допомогою функції ЛИНЕЙН (табл. 2).

Таблиця 2

Прогноз відносної цінності кожної валюти на 13-й період

Валюта	A	B
Рос. рубль	0,00	0,42
Долар	-0,01	0,44
Євро	0,00	0,48

Подальшим етапом є обчислення за допомогою “Пошуку рішень” максимальної та мінімальної кінцевої цінності резерву, що відповідно становить 10487,19 та 7034,73.

Наступними матрицями будуть добутки сигм, тобто добутки стандартних відхилень валют за дванадцять періодів, добутки кінцевої кількості цінних паперів, взятих із першої таблиці та матриця коефіцієнтів кореляції, що визначається за функцією КОРРЕЛ(). Перемноживши ці три матриці, ми знайдемо дисперсію відносної цінності валют. Варто зазначити, що потрібно визначити максимальне та мінімальне значення дисперсії, оскільки вони будуть потрібні для визначення загального критерію. Щоб визначити max та min дисперсію, застосуємо “Пошук рішення”. Таким чином, максимальне значення дисперсії становить 1016519, а мінімальне – 0,006411.

Останнім кроком для отримання кінцевого результату поставленої задачі є складання загального критерію за одержаними значеннями дисперсій та математичних сподівань у процесі розв’язку.

Таким чином, даний загальний критерій дорівнює W=2.88, за якого максимальна цінність резерву валюти склала 6493,49, при цьому найбільшу цінність становить євро – її частка в загальному валютному резерві становить 6489,21 у порівнянні з доларом, валютна цінність якого 4,09 та російським рублем – 0,19.

Література:

1. Вітлінський В. В. Моделювання економіки: Навчальний посібник.— К.: КНЕУ, 2003. — 408 с.