Редько Н.И.

Одесская государственная академия строительства и архитектуры

Динамическая модель как метод распределения ресурсов

В процессе развития предприятия сталкиваются с необходимостью совершенствования своих экономических структур. Для достижения поставленных целей необходимо эффективное управление материальными (основными фондами, производственными запасами) и финансовыми ресурсами предприятия.

Ресурсы, в отличие от потребностей, всегда ограничены, их приходится распределять на различные нужды постоянно и на всех уровнях. Примерами таких задач распределения ресурсов являются динамическая задача оптимизации портфеля проектов, задача оптимизации финансирования ряда многоэтапных инвестиционных проектов в рамках некоторой целевой программы с достаточно длительным сроком реализации. Динамическое программирование является одним из наиболее эффективных методов решения подобных задач, чем и объясняется актуальность данной работы.

Динамические модели, в отличии от статических, охватывают несколько временных периодов, что, безусловно, является более реалистичной абстракцией действительности. характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин "динамическое" в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени.

При создании динамических моделей необходимо уделять внимание большему количеству деталей:

1) обычно каждый временной период имеет собственный критерий эффективности, но для оптимизации требуется объединить эти индивидуальные критерии эффективности в единый критерий, отражающий общую эффективность за все временные периоды. Как правило, в качестве единого критерия эффективности используется сумма всех критериев эффективности для отдельных периодов или взвешенная сумма, где весовые коэффициенты зависят от времени.

2) необходимо тщательно определять синхронизацию событий, чтобы промежуточные результаты и решения шли в правильном порядке.

Аспекты разработки динамических моделей лучше всего рассматривать на примере управления запасами.

Динамические модели управления запасами (другое название многофазовые модели управления запасами) составляют важный класс моделей, которые применяются для управления запасами материалов, финансов, трудовых ресурсов и тому подобного при переходе от одного временного периода к следующему. Рассматриваемый пример — это классическая детерминированная "однопродуктовая" модель управления запасами. Она называется детерминированной, поскольку мы предполагаем, что в начале временного периода I известен спрос (количество заказов, которые необходимо удовлетворить) для всех последующих временных периодов. Например, производитель цемента имеет заказы на последующие 6 недель. Обозначим через d_i этот известный спрос (количество тонн продукции, которое необходимо доставить потребителям на протяжении недели i). Для простоты предположим, что возврат заказов невозможен, т.е. d_i > 0 для всех i. Пусть С_i, — затраты на производство галлона полиуретана в течение недели i, а К — максимальное количество продукции, которое можно произвести за неделю i. Обозначим через hi, удельную стоимость хранения на складе запасов на конец недели i. (Таким образом, запас измеряется как количество тонн, переходящих с недели i на неделю i+1.) Предположим, что исходный запас (запас на начало периода 1, для которого не взимается плата за хранение), составляет I₀ тонн. Необходимо найти план производства, который позволит удовлетворить известный спрос в предстоящие 6 недель с минимальными общими затратами.

Прежде чем формулировать задачу условной оптимизации, полезно записать выражение для имеющегося запаса на конец каждого периода. Поскольку существует плата за хранение, это количество, очевидно, будет играть определенную роль в целевой функции. Обозначим через I_i, запас цемента в конце недели i. Определим переменную решения х_i как количество тонн цемента, произведенное за неделю i. Тогда уравнение материального баланса примет вид . Таким образом, наличный запас на конец недели 1 равен наличному запасу на конец недели 0 (начало недели 1) плюс произведенное за неделю 1 количество продукции минус отфуженное ее количество за неделю 1. (Предполагается, что спрос должен быть полностью удовлетворен. Тогда, поскольку спрос на неделе i известен и равен d_i таким же будет и объем отгрузки за неделю i.) Аналогично для второй недели имеем и для любой недели i:

Итак, уравнение запасов — это уравнение материального баланса: запас на конец периода t = запас на начало периода t + объем производства за период t - - объем спроса за период t.

Здесь предполагается, что запас на конец недели t-1 равен запасу на начало недели t, т.е. не происходит сокращения запасов. Подставив выражение для I₁, в уравнение для I₂, получим:

Словами это можно выразить так: новый запас = прежний запас + производство – спрос. Если подставить полученное выражение для I₂ в уравнение для I₃, получим:

Повторяя данную процедуру, получаем уравнение запасов для любой недели t:

Последнее уравнение связывает запас на конец недели t с исходным запасом I0, объемами производства за все предшествующие недели (значения x_i) и величинами спроса (значения d_i). Переменную It иногда называют выводимой или определяемой переменной, поскольку она определяется с помощью других переменных решения (значений х_i) и известных параметров модели. Использование определяемых переменных иногда облегчает формулировку задач.

Прежде чем переходить к созданию табличной модели, необходимо продумать, как записать требование о том, чтобы объем производства в каждый временной период был достаточен для удовлетворения спроса. Для недели 1 это означает, что или . Поскольку выражение в правой части последнего неравенства равно I₁, то это неравенство означает, что запас на конец недели 1 должен быть неотрицательным. Удовлетворение спроса за неделю 2 означает, что запас на начало недели 2 (или на конец недели 1) плюс производство за неделю 2 должны быть больше d₂ т.е или . Это эквивалентно утверждению, что запас на конец недели 2 должен быть неотрицательным. Таким образом, очевидна закономерность.

Требование удовлетворения спроса за период t эквивалентно условию неотрицательности запаса I_t на конец периода t. Графическая иллюстрация данного утверждения приведена на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость между запасами на начало и конец недели

Словесная модель данной задачи выглядит следующим образом: минимизировать производственные затраты + стоимость хранения при условии, что запас на конец недели t ≥ 0, t=1,2, ..., 6; производство за неделю t ≤ K_t, t=1,2,..., 6; производство за неделю t ≥ 0, t= 1, 2, ..., 6.

Математическая модель данной задачи такова: пусть х_t - объем производства за неделю t. Математическая формулировка задачи состоит втом, чтобы минимизировать при ограничениях

В общем случае поиск решений для подобных моделей — достаточно сложная задача. Необходимо учитывать взаимодействия между многими переменными. Например, запас на конец заданного временного периода t определяется всеми производственными решениями для временных периодов с 1 по t. Это видно из уравнения запасов, приведенного выше. Затраты в период t также зависят от всех производственных решений в периоды с 1 по t.

Литература:

1. Беллман Р. Динамическое программирование. - М.: Издательство иностранной литературы, 1960.

2. Мур Д., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.