УДК 517.52/524:517/58/589

 

О.Ю.Тарновецька

 

СУММИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ФУРЬЕ-–ЛЕЖАНДРА НА СЕГМЕНТЕ [R0, R2]

 

Построим на множестве I1 = {r: r Î (R0, R1)  (R1, R2); R0 ³ 0, R2 < ¥} ограниченное решения сепаратной системы дифференциальных уравнений Фурье и Лежандра для модифицированных функций

                            , r Î (R0, R1),                           

                              , r Î (R1, R2)                                 (1)

по условиям сопряжения

            , j = 1, 2               (2)

и краевым условиям

             , .                (3)

          Здесь принимает участие обобщенный дифференциальный оператор Лежандра [1]

, m1 ³ m2 ³ 0, (m) = (m1, m2).

          Предполагаем, что выполнены условия на коэффициенты: qj > 0,   £ 0,  ³ 0, || +  ¹ 0,  ³ 0, ³ 0,  ¹ 0,  ³ 0,  ³ 0, c11c21 > 0, , j, k = 1, 2.

 

 

 

          Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Фурье (d2/dr2 - )v = 0образуют функции v1 = chq1r та v2 = shq1r [2]; фундаментальную систему решений для обобщенного дифференциального уравнения Лежандра  образуют функции v1 =  и v2 = , n2 = –1/2+q2 [1].

          Наличие фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой задачи (1) – (3) методом функций Коши [2, 3]:

          u1(r) = A1ch q1r + В1sh q1r + ,

          u2(r) = A2 + B2 + .                   (4)

          Здесь Ej(r, r) – функции Коши [2, 3]:

                                 ,

                   , j = 1, 2.                      (5)

j 1(r) = 1, j 2(r) = sh r.

          Введем в рассмотрение функции:

,

,

, j =1, 2,

, m = 0, 1.

          Непосредственно проверяется, что функция Коши

             (6)

          Определим функции [1]:

, j = 1, 2,

, m = 1, 2,

,

,

.

          Непосредственно проверяется, что функция Коши

           ´

          ´                             (7)

          Условия сопряжения (2) и краевые условия (3) для определения величин Aj, Bj (j = 1, 2) дают алгебраическую систему из четырех уравнений:

                ,

                ,        (8)

                ,

                .

          В системе (8) принимает участие функция

                              G12 =  –

                          – .

          Предположим, что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3): для любого вектора  = {q1; q2} определитель алгебраической системы (8)

(9)

          Определим главные решения краевой задачи (1) – (3):

1) порожденные краевым условием в точке r = R0 функции Грина

(10)

;

2) порожденные краевым условием в точке r = R2 функции Грина

,                                                        (11)

;

3) порожденные неоднородностью условий сопряжения функции Грина

, ,    (12)

, ;

4) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния

,                         (13)

,

          В результате однозначной разрешимости алгебраической системы (8) и подстановки полученных значений Aj, Bj (j = 1, 2) в формулы (4) имеем единственное решение краевой задачи (1) – (3):

          uj(r) =  + + +  +

          +  + , j = 1, 2.         (14)

          Построим теперь общее решение краевой задачи (1) – (3) методом интегрального преобразования, порожденного на множестве I1 гибридным дифференциальным оператором (ГДО)

                   = q(r – R0)q(R1 – r)d2/dr2 + q(r – R1)q(R2 – r)L(m),                   (15)

q(x) – единичная функция Хевисайда [3].

          Так как ГДО  самосопряженный оператор и не имеет на множестве I1 особых точек, то его спектр действительный и дискретный. Собственные элементы ГДО  построим как ненулевое решение соответствующей спектральной задачи Штурма-Лиувилля: найти отличное от нуля решение системы уравнений

                                  , r Î (R0, R1),                                 

                                     , r Î (R1, R2)                                      (16)

по краевым условиям

               ,                  (17)

и однородным условиям сопряжения

              , j = 1, 2               (18)

Здесь bj º bj(b) = ()1/2,  ³ 0, j = 1, 2.

          Фундаментальную систему решений для уравнения Фурье (d2/dr2 + )v = 0 образуют функции v1 = cosb1r и v2 = sinb1r [2]; фундаментальную систему решений для обобщенного дифференциального уравнения Лежандра  образуют функции v1 =  и v2 =  [1].

          Если отыскивать общее решение задачи (16) – (18) по правилу [2]

V(m); 1 = A1 cosb1r + B1sinb1r, V(m); 2 = A2 + B2,         (19)

то краевые условия (17) и условия сопряжения  (18) для определения величин Aj, Bj (j = 1, 2) дают однородную алгебраическую систему из четырех уравнений:

 = 0, j = 1, 2,

 = 0.                                                 (20)

          Алгебраическая система уравнений (22) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю [4]:

 –  = 0.   (21)

          В равенствах (20), (21) принимают участие функции:

          ,

         

          , j =1, 2,

          , 

          ,

           –

          – .

          Корни bn трансцендентного уравнения (21) образуют дискретный спектр ГДО  [5]: действительные, различные, симметричные относительно точки b=0, на полуоси b>0 составляют монотонно возрастающую последовательность с единственной предельной точкой b = ¥.

          Решая алгебраическую систему (20) при b = bn (bj(bn) º bjn) стандартным способом [4] и подставляя найденные значения величин  Aj, Bj в равенства (19), получаем функции:

          V(m); 1 (r, bn) = q(m)(bn)[],

          V(m); 2 (r, bn) = [w(m) ; 1(bn)] – [w(m) ; 1(bn)].    (22)

          В равенствах (22) приняты обозначения:

q(m)(bn) = , ,

S(m)(b2n) = ,

g(m)(b2n) = (cosm1p sh2pb2n) (cosm2p + cosm1p × ch2pb2n)–1, j = 1, 2,                        

w(m) ; j(bn)] = .

          Введем в рассмотрение весовую функцию

s (r) =q(r – R0)q(R1 – r)s1 + q(r – R1)q(R2 – r)s2 sh r, s1 = c11shR1, s2 = 1,

и спектральную функцию

                        V(m)(r, bn) =q(r – Rk – 1)q(Rk – r) V(m); k (r, bn)

с квадратом нормы

                                º  

                      º  + .

          По методике, предложенной в работе [5], определим прямое H(m) и обратное  конечное гибридное интегральное преобразование типа Фрье-Лежандра, порожденное на множестве I1 ГДО :

                   =

                    = ,                     (23)

                      ,                       (24)

g(r) Î G, G – область определения ГДО .

          Единственное решение краевой задачи (1) – (3), построенное по известной логической схеме методом гибридного интегрального преобразования, определенного правилами (23), (24), [5], имеет структуру:

                      uj(r) =  +

                      +  +                       (25)

+  +  +

+   – , j = 1, 2,

          q2 = max{; },, i = 1, 2.

          Сравнивая в силу единственности решения (14) и (25), получаем формулы суммирования функциональных рядов по собственным элементам ГДО :

          , j, k = 1, 2,                        (26)

          , j = 1, 2,                      (27)

          , j = 1, 2,                       (28)

          , j = 1, 2,                              (29)

          , j = 1, 2.                           (30)

          Функции влияния  определены по формулам (13), функции Грина  – по формулам (10), функции Грина W(m); 2j(r, q) – по формулам (11), а функции Грина  – по формулам (12).

          Если q2 = , то  = 0,  ³ 0. В этом случае b1n = bn, b2n = ()1/2. Если q2 = , то ³ 0,  = 0. В этом случае b1n = ()1/2, b2n = bn.

          Поскольку правые части в равенствах (26) – (30) не зависят от неравенства  ³ 0 или от неравенства  ³ 0, то можно положить  > 0 ( = 0,  = 0; b1n º b2n = bn), суживая при этом семью функциональных рядов.

          Итогом изложенного выше есть утверждение.

          Теорема. Если функция f(r) = {; L(m) [g2(r)]} непрерывная на множестве I1, функции gj(r) удовлетворяют условиям сопряжения (2) и краевым условиям (3), и выполняется условие (9) однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3), то имеют место формулы (26) – (30) суммирования полипараметрических функциональных рядов по собственным элементам ГДО , определенного равенством (15).

 

          ЛІТЕРАТУРА

1.     Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока.  Чернівці: Прут, 2002. – 248 с.

2.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

5.     Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.