М.П.Ленюк

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Фур’є на полярній вісі

Побудуємо обмежений на множині I₁ = {r: r Î (0, R₁) (R₁, ¥)} розв’язок сепаратної системи модифікованих диференціальних рівнянь Ейлера та Фур’є

, r Î (0, R₁),

, r Î (R₁, ¥) (1)

за умовами спряження

, j = 1, 2. (2)

У рівностях (1), (2) q_j > 0, , , c₁₁c₂₁ > 0, c_j1 = – , , B_a – диференціальний оператор Ейлера [1].

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції v₁ = та v₂ = [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d²/dr² – )v = 0 утворюють функції v₁ = та v₂ = (або їх лінійні комбінації ch q₁r та sh q₁r) [1].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість побудувати єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2) методом функцій Коші [1, 2]:

,

. (3)

У рівностях (3) беруть участь функції Коші E_j(q_j, r, r) [1, 2]:

, (4)

де j₁(r) = r ^{–(2a + 1)}, j₂(r) = 1.

Визначимо функції:

,

,

.

Безпосередньо перевіряється, що за функції Коші можна взяти функції:

(5)

(6)

Умови спряження (2) для визначення величин A₁ та A₂ дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

,

. (7)

У системі (7)бере участь функція

G₁₂ = – .

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2): для будь-якого ненульового вектора = {q₁; q₂} визначник алгебраїчної системи (7)

D_a(q) º ¹ 0. (8)

Визначимо головні розв’язки даної крайової задачі:

1) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

, q = (q₁, q₂), (9)

,

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

; . (10)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (7) й підстановки одержаних значень A₁ та A₂ у формули (3) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2):

u_j(r) = + +

+ + , j = 1, 2. (11)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1), (2) методом гібридного інтегрального перетворення типу Ейлера-Фур’є, породженого на множині I₁ гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (12)

де q(x) – одинична функція Гевісайда [2].

Оператор M_a самоспряжений й має дві особливі точки r = 0 та r = ¥ [3]. Тому його спектр дійсний та неперервний, а спектральна функція – комлпекснозначна [3]. Можна вважати, що спектральний параметр b Î (0, ¥).

Визначимо функції:

,

,

, , j = 1, 2;

w_{a, 1}(b) = b₂e_{a; 12}(b) + e_{a; 21}(b), w_{a, 2}(b) = b₂e_{a; 11}(b) – e_{a; 22}(b),

f_{a, 21}(b) = b₂(e_{a; 11}w_{a, 2} + e_{a; 12}w_{a, 1}), f_{a, 23}(b) = e_{a; 11}w_{a, 1} – e_{a; 12}w_{a, 2},

, , ³ 0.

Розглянемо функції

V_{a, 1}(r, b) º V_{a, 11}(r, b) + iV_{a, 12}(r, b) = –c₂₁b₂(f_{a, 21}(b))^–1/2[w_{a, 2}(b)r ^–acos(b₁lnr) +

+ w_{a, 1}(b)r ^–asin(b₁lnr)] + b₂[e_{a, 12}r ^–acos(b₁lnr) -

– e_{a, 11}r ^–asin(b₁lnr)], w_a(b) = ;

V_{a, 2}(r, b) = [f_{a, 21}(b)]^–1/2[f_{a, 21}(b)cos b₂(r – R₁) – b₂ f_{a, 23}(b)sin b₂(r – R₁)] +

+ sin b₂ (r – R₁) º V_{a, 21}(r, b) + iV_{a, 22}(r, b).

Функція V_{a, 1}(r, b) задовольняє диференціальне рівняння Ейлера ()v = 0, а функція V_{a, 2}(r, b) задовольняє диференціальне рівняння Фур’є ()v = 0. При цьому функції V_{a, j}(r, b) задовольняють умови спряження

, j = 1, 2.

Отже, вектор-функція

V_a(r, b) = q(r)q(R₁ – r)V_{a, 1}(r, b) + q(r – R₁)V_{a, 2}(r, b)

є спектральною функцією ГДО M_a, яка відповідає спектральному параметру
b Î (0, ¥).

Нехай s₁ = c₁₁ : c₂₁, s₂ = 1. Визначимо вагову функцію

s(r) = s ₁q(r)q(R₁ – r)r^{2a – 1} + q(r – R₁)s ₂.

Наявність спектральної функції V_a(r, b), вагової функції s(r) та спектральної щільності W_a(b) дозволяє визначити пряме H_a та обернене гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Фур’є, породжене на множині I₁ ГДО M_a:

, (13)

, (14)

–

, (15)

(i = 1, 2), риска зверху означає комплексне спряження.

Побудований за відомою логічною схемою [4] методом запровадженого формулами (13) – (15) гібридного інтегрального перетворення єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2) має структуру:

+

+ + (16)

+ –

.

Ми припустили, що max{; } = . В цьому випадку , ³ 0 (b₁ = b, b₂ = ).

Порівнюючи розв’язки (11) та (16) в силу єдиності, маємо такі формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів:

= ; j, k = 1, 2, (17)

= ; j = 1, 2, (18)

= ; j = 1, 2. (19)

Функції впливу H_{a; jk}(r, r, q) визначені формулами (9), а функції Гріна
– формулами (10).

При max{; } = маємо b₁ = , b₂ = b, ( ³ 0, ). У цьому випадку вираз (b ² + ) заміниться виразом (b ² + ). Можна покласти = = q² ( = 0, ), звужуючи при цьому сім’ю невласних інтегралів.

З викладеного вище випливає твердження.

Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {; } неперервна на множині I₁, функції g_j(r) задовольняють умови спряження (2) та виконується умова (8) однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2), то справджуються формули (17) – (19) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (12).

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

3. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

4. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.