М.П.Ленюк

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є- Ейлера на обмеженій справа декартовій піввісі

Побудуємо обмежений на множині I₁ = {r: r Î (–¥, R₁) (R₁, R₂); 0 < R₁ < R₂ < ¥} розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку Фур’є та Ейлера для модифікованих функцій

, r Î (–¥, R₁), R₁ > 0,

, r Î (R₁, R₂), R₂ < ¥ (1)

за крайовими умовами

, k = 0, 1; (2)

та умовами спряження

, j = 1, 2. (3)

У рівностях (1) – (3) q_j > 0, , , c₁₁c₂₁ > 0, ¹ 0,
c_j1 = – , , 2a + 1 > 0, B_a – диференціальний оператор Ейлера [1].

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d²/dr² – )v = 0 утворюють функції v₁ = exp(q₁r) та v₂ = exp(–q₁r) (або їхні лінійні комбінації ch q₁r та sh q₁r) [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції v₁ = та v₂ = [1].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1) – (2) методом функцій Коші [1, 2]:

, r Î (–¥, R₁),

, r Î (R₁, R₂), (4) У рівностях (4) E_j(r, r, q_j) – функції Коші [1, 2]:

, (5)

де j₁(r) = 1, j₂(r) = r ^{–(2a + 1)}, 2a + 1 > 0.

Введемо до розгляду функції:

, j = 1, 2,

,

,

, j = 1, 2;

, j = 1, 2.

Безпосередньо перевіряється, що за функції Коші можуть служити функції:

(6)

(7)

Умови спряження (3) та крайова умова в точці r = R₂ для визначення величин A₁, A₂, B₂ дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

,

,

. (8)

У системі (8) бере участь функція

G₁₂ = + .

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі: для будь-якого ненульового вектора = {q₁; q₂} ¹ визначник алгебраїчної системи (8)

D_a(q) º ¹ 0. (9)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8), підстановки одержаних значень A₁, A₂ та B₂ у формули (4) одержуємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

u_j(r) = + +

+ + + W_{a; 2j}(r, q)g_R, j = 1, 2. (10)

У формулах (10) беруть участь головні розв’язки даної крайової задачі:

1) породжені крайовою умовою в точці r = R₂ функції Гріна

W_{a; 21}(r, q) = , q = (q₁, q₂),

W_{a; 22}(r, q) = ; (11)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

; ; (12)

3) породжені неоднорідністю системи функції впливу

,

, (13)

.

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом гібридного інтегрального перетворення, породженого на множині I₁ гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (14)

q(x) – одинична функція Гевісайда [2].

Оператор M_a самоспряжений й має одну особливу точку r = –¥. У цьому випадку спектр оператора дійсний та неперервний, а спектральна функція, яка відповідає власному числу b Î (0, ¥), дійсна [3]:

V_a (r, b) =θ(R₁ – r) V_{a, 1}(r, b) + θ(r – R₁)θ(R₂ – r)V_{a, 2}(r, b).

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є U = 0 утворюють функції та [1], фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ()U = 0 утворюють функції та [1], b_j (β) = , , j = 1, 2.

Якщо покласти

V_{a, 1}(r, b) = A₁cosb₁(r – R₁) + B₁sinb₁(r – R₁),

V_{a, 2}(r, b) = A₂ r^–a cos(b₂ lnr) + B₂ r^–a sin(b₂ lnr), (15)

то однорідні умови спряження (3) й однорідна крайова умова в точці r = R₂ дають однорідну алгебраїчну систему з трьох рівнянь для визначення чотирьох невідомих A_j, B_j (j = 1, 2):

,

, j = 1, 2. (16)

У системі (16) беруть участь функції:

,

.

Виберемо A₂ = , B₂ = . Для A₁, B₁ одержимо алгебраїчну систему з двох рівнянь

.

Звідси знаходимо однозначно:

A₁ = b₁() º b₁w_{a, 1}(b); B₁ = º –w_{a, 2}(b).

Рівності (15) набувають вигляду:

V_{a, 1}(r, b) = b₁w_{a, 1}(b)cosb₁(r – R₁) – w_{a, 2}(b)sinb₁(r – R₁), (17)

V_{a, 2}(r, b) = c₁₁b₁(b).

Наявність спектральної функції V_a(r, b), спектральної щільності

W_a(b) = b[b₁(b)]^–1([w_{a, 2}(b)]² + [b₁(b) w_{a, 1}(b)]²)^–1

та вагової функції

s(r) = s₁q(R₁ – r) + s₂q(r – R₁) q(R₂ – r)r^{2a – 1}_,

де s₁ = 1, s₂ = c₂₁ : c₁₁, дозволяють визначити пряме H_a та обернене гібридне інтегральне перетворення типу Фур’є- Ейлера, породжене на множині I₁ ГДО M_a:

, (18)

, (19)

–

+ (20)

+ , .

Єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3), побудований за відомою логічною схемою [4] методом гібридного інтегрального перетворення, запровадженого формулами (18) – (20), має вигляд:

+

+ + (21)

+ +

+ ,

де q² = max{; }.

Порівнюючи розв’язки (10) та (21) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення невласних поліпараметричних інтегралів:

= , j, k = 1, 2, (22)

= , j = 1, 2, (23)

= , j = 1, 2, (24)

= –, j = 1, 2. (25)

Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {; } неперервна на множині I₁, функції g_j(r) задовольняють умови спряження (3) й крайові умови (2) та виконується умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3), то справджуються формули (22) – (25) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (14).

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

3. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

4. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.