О.М.Нікітіна

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу

(Ейлера–Фур’є)

 

          Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині I1 = {r: r Î (R0, R1)  (R1, R2); R0 > 0, R2 < ¥)} гібридним диференціальним оператором (ГДО)                         ,                    (1)

де q(x) – одинична функція Гевісайда, d2/dr2 – диференціальний оператор Фур’є, Ba – диференціальний оператор Ейлера:  , a > –1/2 [1].

          Оператор Ma самоспряжений и не має на множині I1 особливих точок. Тому його спектр дискретний й спектральна функція, яка йому відповідає, також дискретна.

          Для побудови власних елементів (власних чисел та власних функцій) ГДО Ma розглянемо спектральну задачу Штурма-Ліувілля: побудувати на множині I1 ненульовий розв’язок системи диференціальних рівнянь Ейлера та Фур’є

                              , r Î (R0, R1),                             

                           , r Î (R1, R2),                             (1)

за однорідними крайовими умовами

                   ,                       (2)

та однорідними умовами спряження

          , j = 1, 2.        (3)

          Ми вважаємо, що  (), , ,

|| +  ¹ 0,  ³ 0,  ³ 0 (j, k, m = 1, 2),  ¹ 0, с11 × c21 > 0,

cj1 = , j = 1, 2.

          Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера (Ba + b2)v = 0 утворюють функції v1 = r–acos(b lnr) та v2 = r–asin(b lnr) [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d2/dr2 + b2)v = 0 утворюють функції v1 = cos br та v2 = sin br [1].

          Визначимо функції

,

,

,

.

          Якщо покласти

                         Va, 1(r, b) = A1r–acos(b1 lnr) + B1r–asin(b1 lnr),

                                Va, 2(r, b) = A2cos(b2 r) + B2sin(b2 r),                                   (4)

то крайові умови (2) й умови спряження (3) для визначення величин Ak, Bk (k = 1, 2) дають  однорідну лінійну алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                                       ,

               , j = 1, 2,                  (5)

                                        .

          Однорідна алгебраїчна система (5) має ненульовий розв’язок тоді й тільки тоді, коли її визначник рівний нулю [2]:

                            da(b) º da,21(b)d12(b) – da,11(b)d22(b) = 0.                               (6)

          У рівності (5) беруть участь функції

                    da,j1(b) = , j = 1, 2;

                         dj2(b) = , j = 1, 2.

          Корені bn трансцендентного рівняння (6) як власні числа ГДО Ma складають дискретний спектр [3]: дійсні, різні, симетричні відносно b = 0 й на піввісі b > 0 утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою b = ¥.

          Підставимо в систему (5) b = bn й відкинемо четверте рівняння в силу лінійної залежності.

          Покладемо A1 = A0, B1 = –A0, де A0 підлягає визначенню. Тоді для визначення величин A2, B2 одержимо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                        , j = 1, 2.                           (7)

          Визначник алгебраїчної системи (7)

                    qn º  = c21b2(bn) ¹ 0.

          Ми прийняли, що , , j = 1, 2.

          При A0 = c21b2(bn)  із алгебраїчної системи (6) знаходимо, що

                             A2 = ,

                           B2 = .

          Підставивши вирази Ak, Bk в рівності (4), одержимо компоненти Va, j(r, bn) спектральної вектор-функції Va(r, bn) = :

          Va,1(r, bn) = ,

                Va,2(r, bn) =  –                   (8)

          , .  

          Згідно з роботою [3] маємо твердження.

          Теорема (про спектральну функцію). Система вектор-функцій  ортогональна з ваговою функцією

                  s(r) = s1r2a – 1q(r – R0)q(R1 – r) + s2q(r – R1)q(R2 – r),

де s1 = c11()–1, s2 = , повна й замкнута. При цьому квадрат норми власної функції обчислюється за звичайним правилом:

             +

                                           .                                              (9)

          Теорема (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція g(r) = {g1(r); g2(r)}  із області визначення ГДО Ma зображається за системою  абсолютно й рівномірно збіжним на множин I1  рядом Фур’є:

                         .                          (10)

Ряд Фур’є (10) визначає пряме Ha, 1 та обернене  скінченне гібридне інтегральне перетворення Ейлера-Фур’є, породжене на множині I1 ГДО Ma:

                                            

                   ,                    (11)

                        .                         (12)

Теорема (про основну тотожність). Якщо вектор-функція f(r) = {Ba[g1(r)]; (r)} неперервна на множині I1, а функції gj(r) задовольняють крайові умови

              ,                (13)

та умови спряження

            , j = 1, 2,             (14)

 то має місце основна тотожність інтегрального перетворення ГДО Ma:

           –  +

          +  + ,          (15)

                       , i = 1, 2.                             

Основна тотожність (15) дозволяє побудувати алгебру ГДО Ma, а, отже, лежить в основі застосування запровадженого формулами (11), (12) скінченного гібридного інтегрального перетворення для побудови точного аналітичного розв’язку відповідних задач статики, квазістатики й динаміки за відомою логічною схемою [3].

За викладеною вище логічною схемою будується скінченне гібридне інтегральне перетворення Фур’є-Ейлера.

 

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1963. – 431 с.

3.     Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.