Федотова В.С.

Ленинградский государственный университет имени А.С. Пушкина

Об одном методе исследования краевых задач на существования нетривиальных решений

Теория нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой весьма интенсивно развивающийся раздел прикладной математики. Это обусловлено, с одной стороны, важностью практического приложения нелинейных краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники, с другой стороны – необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, а также построением эффективных методов их отыскания. К сожалению, для нелинейных задач единственность решения – явление достаточно редкое. Поэтому часто в качестве идеального результата анализа разрешимости нелинейного уравнения стремятся получить утверждения о существовании более одного решения, что как правило, оказывается непростой задачей. Во многих практически важных случаях некоторые решения (обычно называемые тривиальными) известны заранее, а исследователя, прежде всего, интересуют нетривиальные решения, располагающиеся «вблизи» тривиальных в выбранном функциональном пространстве.

В работе рассматривается задача нахождения условий существования нетривиальных решений операторных уравнений вида: где - фредгольмов оператор с нетривиальным ядром, - произвольный линейный оператор, - нелинейный оператор, Основу предлагаемого подхода составляют следующие три блока: классическая теория ветвления решений нелинейных уравнений (в особенности используется редукция Ляпунова-Шмидта и связанные с ней методы построения различных систем уравнений ветвления), метод неэквивалентных замен переменных, введенный в работах [1, 2] С.А. Вавиловым, для исследования разрешимости функциональных уравнений, развитие теории Лере-Шаудера топологической степени отображения в применении к отображениям в пространствах, имеющих структуру прямого произведения бесконечномерного банахова пространства и конечномерного пространства Для задач, рассмотренных классов, строятся соответствующие системы уравнения ветвления Ляпунова-Шмидта, а затем, используя подходящую неэквивалентную замену переменных, последние преобразуются таким образом, что полученные системы уравнений уже не допускают решений, соответствующих тривиальным решениях исходной задачи.

В качестве примера рассматривается следующая периодическая задача

(1)

Пусть где - искусственно введенный вещественный параметр, который в дальнейшем будет предполагаться малым. Тогда задача (1) переписывается в виде (2)

Поставим вопрос о существовании такого, что уравнение (2) имеет нетривиальное решение. Рассмотрим оператор Он представляет собой фредгольмов оператор с нетривиальным ядром и коядром Исходя из представления запишем соответствующую (2) систему уравнений Ляпунова-Шмидта

После некоторых преобразований система преобразуется к виду

Соответствующее конечномерное векторное поле записывается следующим образом

где

Возьмем весовую функцию Тогда Как нетрудно убедиться, скалярное произведение на окружности любого радиуса сохраняет знак и, следовательно, поле невырождено на указанной окружности и его вращение равно 1. Таким образом, к задаче (1) применима топологическая теорема [2] и для при всех достаточно малых задача (1) имеет классическое нетривиальное решение, которое может быть построено, исходя из схемы Галеркина, применительно к операторной системе (3).

Литература

1. Вавилов С.А. О нетривиальных решениях некоторых классов операторных уравнений//ДАН, 1993. Т. 331, № 1. С. 7-10.

2. Vavilov S.A. A method of studying the existence of nontrivial solutions to some classes of operator equations with an application to resonance problems in mechanics// Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications. Vol. 24, № 5. pp. 747-764, 1995.

3. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. – М.: Наука, 1975. – 510 с.