Чалий Анатолій
Секція «Педагогіка»
Студент групи МІ-5
педагогічно-індустріального факультету
ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький державний
педагогічний
університет імені Григорія
Сковороди»
Тригонометричні функції в курсі алгебри і початків
аналізу
Поняття про sinα,
соsα, tgα як вирази без терміна «функція» вперше
вводяться в курсі геометрії 8 класу. Доводяться твердження про зміну синуса,
косинуса і тангенса при зростанні кута. Отже, учні переконуються в тому, що
існує залежність між градусною мірою кута а і значеннями sinα,
соsα і tgα, тобто що тут маємо справу з функціональною
залежністю. Означення sinα, соsα, tgα запроваджуються в підручнику О. В.
Погорєлова за два етапи. На першому етапі в темі «Теорема Піфагора» (8клас) вводиться означення косинуса гострого кута як відношення
прилеглого катета
прямокутного трикутника до гіпотенузи. Це означення використовується при доведенні теореми
Піфагора. Пізніше вводяться означення
синуса кута а і тангенса кута а, виводяться основні тригонометричні тотожності:
, ,
за означенням
вводиться тотожність . Відразу після цього
доводяться формули зведення sin (90°- α) = соsα, соs
(90°- α) = sinα та обчислюються синус, косинус і тангенс для
кутів 45°, 30° і 60°.
Означення sinα, соsα, tgα дають
можливість встановити правила співвідношення
між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику, які дають змогу розв'язувати прямокутні трикутники.
На другому
етапі в курсі геометрії 8 класу вводяться означення синуса, косинуса і тангенса
будь - якого кута від 0° до 180° за допомогою координат. У 9 класі доводяться теореми синусів і
косинусів та розв'язуються косокутні трикутники.
У підручнику Л. С. Атанасяна
означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямокутного трикутника теж вводяться у 8
класі, але вони не застосовуються
до доведення теореми Піфагора. Співвідношення між катетом і гіпотенузою на основі
введених означень тут не формулюються. Означення sin а, соs а і tg а для будь-яких кутів від 0° до 180°,
теореми синуса і
косинуса і розв'язування косокутних трикутників вивчаються в 9 класі. Термін «тригонометричні функції» тут
також не вживається. За чинною
перехідною програмою у курсі алгебри 9 класу передбачено вивчення теми «Тригонометричні вирази та їх
перетворення». Цей матеріал передбачено вивчати з погляду виразів, а не функцій, тому при
введенні означень синуса,
косинуса і тангенса довільного кута термін «тригонометричні функції»також не вживається.
Тут вводяться означення синуса, косинуса,
тангенса і котангенса
довільного кута, для
них розглядаються
основні тригонометричні тотожності:
,,
вводяться
формули зведення для кутів вигляду 90° - а, 180°- а, розглядаються теореми синусів і косинусів.
Зазначимо,
що в традиційному шкільному курсі алгебри ця тема раніше ніколи не вивчалась. Досвід останніх років свідчить про те, що її
вивчення і зараз не виправдовує себе,
оскільки вивчені формули тригонометрії і набуті навички виконання тотожних перетворень тригонометричних виразів на час
їх використання для розв'язування
тригонометричних рівнянь у 10 класі в курсі алгебри і початків аналізу забуваються.
Вивчення теми
«Тригонометричні функції» в курсі алгебри і початків аналізу в 10 класі треба будувати на основі
здобутих знань і умінь про функцію
взагалі і синус, косинус і тангенс зокрема. Основна увага має бути спрямована на вивчення тригонометричних
функцій будь-якого числового аргументу
і основних тригонометричних тотожностей. Проте доцільно попередньо повторити і розширити відомості про радіанну систему вимірювання кутів і дуг. Перш ніж вводити поняття функцій числового
аргументу, доцільно докладніше, ніж це
було зроблено в курсі геометрії 9 класу, розглянути поняття «радіанна міра кута». Варто пояснити
причину її введення, її специфіку і
переваги перед іншими
системами вимірювання кутів.
Деякі учні
помилково вважають, що символ я є позначення одиниці радіанної міри. Щоб спростувати це неправильне
уявлення, треба у прикладах не тільки записувати
числові аргумент тригонометричних функцій через
ірраціональне число ж або його частини, а й використовувати інші дійсні числа. Проте найбільша перевага радіанної міри полягає в тому, що для малих кутів, виміряних у радіанах, виконуються наближені
рівності sin а ~ а, tg
а ~ а. Справді, нехай а= 3°. Оскільки 3° ~ 0,0524 радіана, а sin 3° 3 ~ 0,0523, то справедлива
наближена рівність sin 0,0524 ~ 0,0523. Для градусної міри
рівність sin 3° ~ 3 не має
смислу. Остання перевага радіанної міри широко застосовується в математичному аналізі й в інших науках. Досвід показує, що виведення формул переходу
від градусної міри кута до
радіанної і навпаки не викликає труднощів в учнів. Помилок вони припускаються, як правило, заокруглюючи
наближені значення, одержані при
застосуванні згаданих формул. Насамперед треба згадати означення тригонометричних функцій кута і поширити їх
на будь - яку градусну міру, ввести
кут повороту. Крім того, слід переконати учнів у тому, що існує відповідність між множиною дійсних чисел і
множиною точок одиничного кола.