Уравнения с запаздывающим аргументоа

Тельжанова Айнур Нурбековна

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Уравнения с запаздывающим аргументом

Рассмотрим простейшее уравнение вида

(1)

Ясно, что для нахождения решения этого уравнения при всех необходимо задать функцию на отрезке . После этого можно последовательно находить на отрезках из интегральных уравнений

. (2)

Обозначим и будем считать, что эта функция принадлежит пространству . Введем в рассмотрение функцию и будем её рассматривать при каждом фиксированном как элемент пространства . Таким образом, решения уравнения (1) с начальными условиями

(3)

порождают операторы

Очевидно, эти операторы образуют сильно непрерывную полугруппу ограниченных операторов в . Эта полугруппа удовлетворят -условию. Действительно, из (2), например, вычисляем

Из (2) видно, что полугруппа обладает запаздывающей гладкостью: при решения имеют производные -го порядка.

Простым вычислением находим, что производящим оператором полугруппы будет оператор дифференцирования, заданный на всех непрерывно дифференцируемых на функциях , удовлетворяющих краевым условиям

. (4)

Функция удовлетворяет уравнению

, (5)

Поэтому задачу (1), (3) можно трактовать как задачу о нахождении решения гиперболического уравнения (5), удовлетворяющего на отрезке нелокальному краевому условию (4). Как показано, эта задача равномерно корректна в .

Проведенные рассуждения допускают обобщение. Рассмотрим уравнение

(6)

где - -мерная вектор-функция, определенная на , а -линейный оператор, отображающий пространство непрерывных на вектор-функций в -мерное векторное пространство . В уравнении (6) при каждом оператор действует на как на функцию от из . В примере (1) . Так же и в этом примере, решение (6) однозначно определяется, если задать условие