к.т.н. Винниченко Л.Ф.

Днепропетровский национальный университет

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ГИСТОСПЛАЙНЫ: ПРЕДПОСЫЛКИ ВВЕДЕНИЯ

Для решения многих задач теории надежности, массового обслу­живания, управления запасами, диагностики и т.п. необходимо за­дание или построение функций распределения.

Традиционно для описания показателей надежности функциони­рования технических систем применяются следующие типы распреде­лений: экспоненциальный, нормальный, логарифмически-нормальный, гамма, Вейбулла, Рэлея, экстремальный, которые так­же используются для описания функции вероятности безотказной ра­боты различных технических систем.

Использование классических распределений в большинстве практических задач не дает удовлетворительной точности решения, а, следовательно, и достоверных выводов. Кроме того, многие задачи технического обслуживания, резервирования и др. имеют решение только в заданном классе распределений. Практически тип распределения значительно может отличаться от требуемого. Учитывая отмеченный недостаток, в последние годы широкое применение для построения моделей отказов нашли сплайн-распределения, которые были введены А.Ф.Приставкой.

Основой для введения теории сплайн-распределений послужили как фундаментальные исследования по сплайн-функциям в теории приближений, так и прикладные задачи теории надежности.

Первое упоминание о простейших примерах сплайн-функций (ломаных) встречается в ХУ веке, когда сплайны естественным образом возникают в ряде механических задач. Форму упругих балок с точечными нагрузками изучал еще Леонардо да Винчи. Простейшие сплайн-функции, "ломаные Эйлера", были реализованы в задачах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве экстремалей сплайны появляются в работах Ж.Фавара (1936г.) и А.Н.Колмогорова (1936г.) для решения частных аппроксимационных задач, в начале 50-х годов в работах С.М.Никольского нашла применение кусочно-полиномиальная аппроксимация степенной функции. В современном виде аппроксимация сплайнами впервые появилась в статье И.Шёнберга  и привела к интенсивному развитию математической теории сплайн-функций. Значительный вклад в развитие фундаментальной теории сплайн-функций внесли глубокие исследования Н.П.Корнейчука, В.М.Тихомирова, С.Б.Стечкина, Ю.Н. Субботина, Ю.С. Завьялова и др.  Среди зарубежных авторов следует отметить исследования по теории сплайн-функций и ее приложениям  Дж. Алберга, Э. Нильсона, Дж. Уолша, Р. Варга, П.-Ж. Ло­рана, К. де Бора.

В настоящее время сплайн-функции успешно применяются для решения задач статистического анализа - восстановление интерпо­лирующих и сглаживающих сплайн-функций по экспериментальным дан­ным. При этом наряду с классическими схемами восстановления полиномиальных сплайн-функций, находят приложения эрмитовы и В-сплайны, экспоненциальные и тригонометрические сплайн-интерполяции. Практическая реализация сплайнов при­вела к интенсивному развитию новых направлений, теорий, вычисли­тельных схем, как в теории сплайн-функций, так и в вероятностно-статистическом анализе.

Одним из таких направлений в задачах вероятностно-статисти­ческого анализа является восстановление и исследование функций распределения (сплайн-распределений) и функций плотности (гистосплайны) по выборочным данным. В настоящее время в классе сглаживающих сплайн-распределе­ний рассмотрены сплайн-распределения с одним узлом склеивания: сплайн-экспоненциальное, сплайн-Вейбулла и сплайн-нормальное распределения, для которых исследованы их основные свойства, найдены выражения количественных характеристик, разработаны вы­числительные процедуры определения оптимальных оценок параметров и местоположения узлов склеивания. Результаты апробации сглаживающих сплайн-распределений продемонстрировали их высокую эффективность при оценке показателей надежности ряда конкретных технических систем.

Под сплайн-распределением  понимают распределение вида

где    - узлы склеивания,                     - число узлов склеивания;

 - индикатор, определяемый как    

- функция распределения с вектором параметров .

Проведенные исследования показали, что в ряде случаев ис­пользование как классических, так и сплайн-распределений с одним узлом склеивания дает неудовлетворительные результаты при вос­становлении функций распределения времени наработки на отказ промышленных роботов. Особенно это относится к системам, работа­ющим в переменных режимах, элементы которых имеют различные периоды старения.

Для получения более достоверных результатов при восстанов­лении функций распределения был введен новый тип распределений, основанный на теории гистосплайнов.

Первой работой, где было определено понятие “гистосплайн” и изложены основные положения теории интерполяционных гистосплайнов явился доклад Л.Боневой, Д.Кендалла и И.Стефанова, сделанный в 1970г. на заседании Королевского статистического общества (Англия). Авторы доклада ввели для описания гистограмм параболические кусочно-непрерывные функции ("гистосплайны"), за­меняющие функцию плотности распределения.

Дальнейшее развитие теория гистосплайнов и ее приложения получили в работах И.Шенберга, К.Ли и М.Розенблата, Г.Уаба  и других авторов.

Применение параболических гистосплайнов, подробное исследо­вание вычислительных схем восстановления функции плотности опи­сано в работах  Приставки А.Ф.

Вычислительные схемы для восстановления параболических гистосплайнов вида

построены на выполнении требований непрерывности гистосплайна и его первой производной, то есть

и равенства

                                                             (1)

где
- частости,  .

Ограниченностью приведенной вычислительной схемы является недостаточная гладкость гистосплайна из-за несовпадения вторых производных справа и слева в точках и получение, в ряде случаев, отрицательных ординат гистосплайна.

Для повышения гладкости гистосплайна предложено использовать полиномы третьей и четвертой степени. Варьирование условием (1) при разработке вычислительных схем приводит з зависимости от типа гистограмм к различной точности восстановления гистосплайна.

Как естественное обобщение теории сплайн-распределений с одним узлом явилось введение таких распределений с двумя и более узлами. Для дальнейшего повышения точности аппроксимации выборочных данных, построения адекватных моделей отка­зов введен новый класс сплайн-распределений - экспоненциальные гистосплайны с полиномиальным аргументом. Данный класс распределений является предельным случаем сплайн-распределений с одним, двумя и более узлами.

Экспоненциальные гистосплайны имеют ряд общих требований с параболическими гистосплайнами, аппроксимирущими гистограмму, но в отличие от них с помощью экспоненциальных гистосплайнов осуществляется восстановление теоретической функции распределения F(х) по данным эмпирической функции распределения Fn(x).

Следуя теории сплайн-распределений /1,2/, экспоненциальные гистосплайны с полиномиальным аргументом - это распределения вида

                                                              

где   m - число классов;

                       - индикатор функции.

Варьируя порядок полинома предполагается достаточная свобода выбора для построения экспоненциальных гистосплайнов. Ограничивая степень полиномов в функции распределения четвертым порядком и учитывая, что экспоненциальные гистосплайны введены для описания функционирования стареющих систем, в настоящей работе вводятся следующие типы распределений:

экспоненциальные гистосплайны с линейным аргументом /1/

с функцией распределения вида

 

                                                        экспоненциальные гистосплайны с параболическим аргументом  с функцией распределения вида

 

                                                           экспоненциальные гистосплайны с кубическим аргументом  с функцией распределения вида

                                                         экспоненциальные гистосплайны с аргументом четвертой степени  с функцией распределения вида

                   

Экспоненциальные гистосплайны позволяют с большей точностью и досто­верностью описывать функционирование технических систем, чем классические распределения, являющиеся частным случаем сплайн-распределений, кроме того, их введение позволило решить ряд ра­нее не решенных задач математической теории надежности.

Литература:

1.       Приставка А.Ф., Винниченко Л.Ф. Сглаживание эмпирических функций распределения линейными экспоненциальными гистосплайнами// Алгоритмы решения нелинейных задач и обработка данных. – Днепропетровск: ДГУ, 1894.-с.146-150.

2.       Приставка А.Ф., Винниченко Л.Ф. Восстановление экспоненциальных гистосплайнов с параболическим аргументом//Методы решения нелинейных задач и обработки данных.-Днепропетровск: ДГУ, 1985.-с.163-168.