А.А. Дегтярьов, д.ф.-м.н., Бєлозьоров В.Є., к.т.н., Зайцева Т.А.

Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара, Україна

ПОШУК ІНВАРІАНТ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Більшість виробничих процесів та практичних розробок потребують ретельного планування й проектування задля максимально ефективної за певними параметрами реалізації. Відповідно, виникає потреба у побудові математичного апарату, який достатньо точно та повно описував би наявні особливості досліджуємого явища та дозволяв вивчати поведінку відповідної математичної моделі в залежності від певних факторів. Найбільш поширеним підходом є представлення моделі у вигляді системи диференціальних рівнянь.

Диференціальні моделі описують, наприклад, процеси керування літальним апаратом, за їх допомогою досліджуються екологічні процеси, зокрема, ті, що мають місце у біогеоценозах. Це лише невелика кількість прикладів застосувань, але вони свідчать про надзвичайну актуальність поглибленого вивчення диференціальних моделей, як загальних теоретичних аспектів, так і властивостей конкретних моделей або їх класів.

Центральним питанням при дослідженні систем виступають, як правило, їх стійкість та деякі інші фундаментальні властивості, що складають у цілому топологію системи. В окремих випадках, коли система є відносно простою (наприклад, за характеристиками порядку чи розмірності), для вивчення топології системи успішно застосовуються класичні інструменти, які є добре вивченими і можуть бути відносно просто реалізовані практично (критерії Гурвіца, Рауса, Лоусона тощо). Але як тільки система стає складнішою, доводиться вдаватись до еврістичних підходів, спираючись на індивідуальні особливості конкретної системи. Загальні підходи не завжди є можливими, не говорячи вже про ускладнення практичної реалізації дослідження.

Виходячи з цього, актуальними є питання, пов’язані з пошуком та дослідженням інструментарію загального вигляду, хоча б для окремих класів складних систем, який дозволяв би характеризувати систему за відносно простими критеріями, обчисленими на основі структури системи. Іншими словами, постає задача побудови методу характеристичного аналізу складних диференційних систем.

Основною метою розробки даного програмного продукту є забезпечення можливості повного дослідження довільної наперед заданої математичної моделі. Internet-modeller забезпечує на поточний момент наступну функціональність:

· Можливість задання довільної математичної моделі за допомогою розробленої описуючої мови моделей. Модель задається набором вхідних і вихідних параметрів і правилами їх зміни і взаємодії. Модель у цілому може мати текстовий опис, що містить інформацію про її можливі застосування та задачі, що зводяться до дослідження даної моделі. Також для кожного параметра є можливість задання такого опису, що говорить про його сутність.

· Для заданої моделі існує можливість її гнучкого та максимально повного дослідження. Сюди входить побудова графіків залежностей параметрів моделі, побудова графіків, що описують поведінку системи у цілому, можливість обчислення різноманітних характеристик системи та взаємодій між параметрами, що представляють найбільший інтерес.

· Розроблено зручну документацію до використання даного програмного продукту, спроектовано дружній користувальницький інтерфейс та створено умови для максимально зручної роботи користувача із забезпеченням корисних можливостей відладки моделі, її збереження та завантаження з файлу.

В якості технології, що використовується для реалізації даного програмного продукту, було обрано Java 2 (JDK 1.6). Обрання мови зумовлено її зручністю та повнотою, що дозволяє не фокусувати основну увагу на неістотних для поставленої задачі технічних деталях, доступністю необхідних бібліотек, що мають готовий інструментарій для реалізації атомарних задача достатньо висого рівня, і переносимістю програм, написаних на цій мові, що забезпечує максимальну доступність продукту та широкі можливості розповсюдження. Структуру програми було спроектовано з розділенням на наступні логічні частини:

· Користувальницький інтерфейс. Сюди входить реалізація користувальницьких елементів управління, керуючий цикл роботи програми, обробка подій користувальницького інтерфейсу.

· Синтаксичний аналізатор мови опису моделей. Включає набір класів, які здійснюють синтаксичний розбір моделі на розробленій мові опису IML (Internet Modeller Language), і її трансляцію в код Java, який після цього компілюється і таким чином модель готується до виконання.

· Графічний вивід. Включає набір класів, що забезпечують внутрішній інтерфейс для побудови графіків

· Мережева взаємодія. Включає набір класів, що відповідають за роботу з мережевими з’єднаннями.

· Адміністративний інтерфейс. Класи адміністрування забезпечують налаштування основних параметрів програми і менеджмент облікових записів користувачів (з метою персоналізації налаштувань та побудованих користувачами моделей).

Створено зручне середовище розробки та дослідження математичних моделей. Ведеться робота над покращенням і розширенням функціональності даного програмного продукту. Серед напрямків по покращенню: збільшення точності та повноти відображення фазових портретів, спрощення інтерфейсу, розширення функціональних можливостей IML, оптимізація процесу трансляції і виконання моделі, створення більш повного керівництва по управлінню програмою. Ведуться теоретичні дослідження задля підведення наукової бази під розширення класів моделей, що підтримуються, особливо моделей, що описуються системами диференційних рівнянь третього порядку (і, можливо, вище), бо, як обгрунтовано вище, цей напрямок представляє окрім практичного, передусім великий теоретичний інтерес.