І.І.Веренич, М.П.Ленюк

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є – Бесселя - Ейлера на полярній осі

 

Побудуємо обмежений на множині

I2 = {r: r Î (R0, R1)  (R1, R2)  (R2, ¥);  R0 ≥ 0}

розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Бесселя та Ейлера для модифікованих функцій

                                   , r Î (R0, R1),                         

                                                             , r Î (R1, R2)       (1)

                             , r Î (R2, ¥),

за крайовими умовами

       ,                                                 (2)

         

та умовами спряження

 j, k = 1, 2.                              (3)

          У системі (1) бере участь диференціальний оператор Фур’є [1] d2/dr2, Бесселя [2] = d2/dr2 + d/dr – та Ейлера [1]  ,  ν ≥  α1 > – ½,  .

          Будемо вважати, що виконані умови на коефіцієнти:

qj>0, , ,  , ,  j,k=1,2.

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального оператора Фур’є            утворюють функції  та  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду й другого роду  [2]; фундаментальну систему роз’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють функції та [1].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [1,3]:

,          (4)

Тут -функції Коші [1,4]:

                                                                                              (5)

  

Припустимо, що функція Коші

 

          Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему:

Звідси знаходимо співвідношення:

                                                                                                 (6)

Доповнимо рівності (6) алгебраїчними рівняннями:

 

                                              (7)

          Внаслідок співвідношень (6) алгебраїчна система (7) набуває вигляду:

                                            

                                                           (8)

Із алгебраїчної системи (8) знаходимо, що

,

Цим функція Коші E1(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

                    (9)

          У рівностях (7)-(9) беруть участь функції:

Нехай функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

                                                                                      (10)

Доповнимо систему (10) алгебраїчними рівняннями:

                                 (11)

 

В силу співвідношень (10) алгебраїчна система (11) набуває вигляду:

                                      

                                         (12)

Із алгебраїчної системи (12) знаходимо, що

Цим функція Коші E2(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

                (13)

У рівностях (11)-(13) беруть участь функції:

 j,k=1,2.

Нехай функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

                                                          (14)

Доповнимо рівності(14) алгебраїчним рівнянням:

                                  (15)

Із алгебраїчної системи (14),(15) знаходимо, що

                                             

Цим функція Коші E3(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

                                             (16)

У рівностях (15),(16) беруть участь функції:

Повернемося до формули (4). Крайова умова в точці r=R0 та умови спряження (3) для визначення величин  та Вk(k=1,2) дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

 j=1,2

                             (17)

У системі (17) беруть участь функції

,

та символ Кронекера .

Введемо до розгляду функції:

,

,

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора  визначник алгебраїчної системи (17)

=

                                               (18)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3): 1) породжені крайовою умовою в точці r=R0 функції Гріна

                                                             (19)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

 

 

 

       (20)

;

3) породжені неоднорідністю системи функції впливу

                              (21)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (17), підстановки одержаних значень  та Вk (k =1, 2) у формули (4) і низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

                                

                        

                                      .                         (22)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом гібридного диференціального перетворення (ГІП), породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                       (23)

одинична функція Гевісайда [3]

Оскільки ГДО Мν,(α) самоспряжений і має одну особливу точку r = ∞, то його спектр дійсний та неперервний[4].  Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція

                

          Функції знайдемо як ненульовий розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Бесселя та Ейлера

                                     r Î (R0, R1)                          

                                      r Î (R1, R2)                          (24)

                                       r Î (R2, ∞)

за крайовими умовами

                                             (25)

та однорідними умовами спряження

             ;  j,k = 1, 2, (26)

 

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  утворюють функції U1=cosb1r та U2=sinb1r [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  утворюють звичайні функції Бесселя першого роду  та другого роду  ; фундаментальну систему розв’язків для диференціального оператора Ейлера  утворюють функції та  [1].

Якщо покласти

                                                               (27)

то крайова умова в точці  r=R0 та умови спряження (26) дають для визначення шести невідомих алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

                             ;

                      (28)

Функції, що беруть участь в системі (28), загальноприйняті [5].

У результаті стандартного розв’язання алгебраїчної системи (28) й підстановки величин  Aj та Bj у рівності (27) маємо:

                              (29)

У рівностях (29) прийняті позначення:

-,

,

, j=1,2.

Визначимо спектральну щільність

та вагову функцію

,

,    

Наявність спектральної функції , вагової функції σ(r) та спектральної щільності  дозволяє визначити пряме  й обернене  гібридне інтегральне перетворення,породжене на множині  ГДО  :

                                   ,                        (30)

                                                 (31)

Тут вектор-функція g(r)={g1(r);g2(r); g3(r)} будь-яка функція з області визначення ГДО . При цьому

                      

                                   

Єдиний роз’язок крайової задачі (1)-(3), одержаний методом гібридного інтегрального перетворення, запровадженого формулами (30),(31), має структуру:

                       

                    

                   (32)

У формулі (32) прийняті позначення:

Порівнюючи розв’язки (22) та (32) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення полі параметричних невласних інтегралів:

                  ,     (33)

                      ,        (34)

                        , ,           (35)

                , ,  (36)

Функції визначені формулами (21), функції Гріна визначені формулами (19), а функції Гріна - формулами (20).

          Зауваження 1. Якщо , то   . В цьому випадку , ,  і

          Зауваження 2. Якщо , то    . В цьому випадку  , ,  і

          Зауваження 3. Якщо , то  . В цьому випадку  ,  , і

          Зауваження 4. Оскільки праві частини в рівностях (33)-(36) не залежать від нерівностей , то можна покласти  звужуючи при цьому сім’ю невласних інтегралів.

          Підсумком викладеного вище є твердження.

          Основна теорема. Нехай вектор-функція  неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3). Якщо при цьому виконується умова (18) однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то мають місце формули (33)-(36) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (23).

          Відмітимо, що результати роботи (формули (33) – (36)) поповнюють довідкову математичну літературу.

 

Література:

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с

4.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина1.-Тернопіль: Економ. думка, 2004.-368с.

5.     Конет І.М., Ленюк М.П. Вычисление несобственных интегралов по собственным элементам гибридного дифференциального оператора Бесселя-Фурье-Эйлера на полярной оси //Materialy IV Międzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji “Naukowy potencjal świata-2008”. Тут 9. Ŧechniczne nauki.-Przemysl.Nayka і studia.-C.69-77.