Педагогічні науки /5

Ковальчук В.Ю., Білецька Л.С., Силюга Л.П., Стасів Н.І.

Дрогобицький державний педагогічний університет ім. Івана Франка, Україна

Вивчення поняття функціональної залежності між величинами та способів її задання на уроках математики у початковій школі

Одним із алгебраїчних понять, які подаються у початкових класах, є поняття “змінна”, “залежність”. Ці поняття стосуються термінів “аргумент” і “функція”, які вивчаються у 7-11 класах. Незважаючи на те, що у початковій школі навіть не вживається правильної термінології щодо поняття функції, підготовчу роботу до вивчення функцій вчитель повинен проводити, хоча і в неявній формі. Адже функціональний зміст є присутній у багатьох текстових задачах і вправах чинних підручників з математики для початкової школи. Правильним і ефективним буде трактування цього функціонального змісту, закладеного у вправах, лише за тієї умови, що вчитель сам достеменно розуміє теоретичні основи і методику здійснення функціональної пропедевтики.

Поняття функції розтлумачено в різних математичних словниках, підручниках, посібниках; широко описана методика вивчення цього поняття в старших классах школи. Сучасне означення функції подається через відношення між множинами Х та У, за якого кожному елементу х множини Х відповідає не більше одного елемента у множини У. З цього означення випливає, що у символічному записі у = f (х) функцією названо не змінну f(х), а відношення f.

Однак у плані функціональної пропедевтики функцію будемо тлумачити у вужчому розумінні – як зв‘язок між змінними величинами. Проблемами функціональної пропедевтики у різний час займались М.В.Богданович, Г.П.Лишенко, О.В.Кужель, Т.Й.Мельничук, Н.П.Самарська, М.О.Бантова та ін.

Проаналізувавши можливості застосування усіх способів визначення функціональної залежності між величинами, можна визначити орієнтовну програму здійснення функціональної пропедевтики у початковому курсі математики. Ця програма у дослідженні М.Богдановича, Г.Лишенка та О.Хіман набуває такого змісту, де виділяють чотири вузлові питання, які розкривають з метою забезпечення функціональної пропедевтики у початковій школі:

1. Незалежні та залежні величини. Уявлення про характер змін величин: зростання і спадання величин, рівномірне зростання і спадання величин.

2. Використання вправ і задач для постановки запитань про лінійну залежність величин. Зміна результатів дій першого ступеня залежно від зміни одного з компонентів дії. Спеціальні вправи на формування уявлень про лінійну залежність.

3. Використання вправ і задач для постановки запитань про прямо і обернено пропорційну залежність величин. Зміна результатів дій другого ступеня залежно від зміни одного з компонентів дії. Спеціальні вправи на формування уявлень про пропорційну залежність.

4. Приклади на лінійну і непропорційну залежність величин.

У початкових класах учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв‘язки між величинами під час розв’язування текстових задач [2, 154]: ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, кількість предметів і загальна маса; швидкість, шлях і час при рівномірному русі тіла тощо. Учні також спостерігають, як змінюється результат арифметичної дії залежно від зміни компонентів.

Якщо названі величини брати попарно, то побачимо різні види залежностей:

· прямо пропорційну залежність (вартість і ціна, добуток і множник);

· обернено пропорційну залежність (кількість і ціна, дільник і частка);

· лінійну залежність (сума і доданок, маса товару з тарою і маса самого товару);

· квадратичну залежність (площа квадрата і довжина його сторони).

Задати функцію – означає встановити закон, за яким значення у обчислюється за даним значенням х. Розглянемо основні способи, якими може бути виражено цей закон. Розрізняють такі способи задання функціональної залежності між величинами:

· за допомогою таблиці (табличний),

· за допомогою формули (аналітичний),

· описати словами (словесний),

· за допомогою графіка (графічний).

На прикладі практичних задач розглянемо, як можна задати функціональну залежність у початкових класах деякими цими способами.

Табличний спосіб. Візьмемо бідон і поставимо його на терези. Його маса становить 2 кг. Наливаючи воду у бідон, ми будемо спостерігати, що маса бідона з водою змінюється. У нашому досліді маса бідона залишається незмінною (сталою), а маса води і маса бідона з водою є змінні величини. В таких випадках кажуть, що маса води – це незалежна змінна, а маса бідона з водою – це залежна змінна.

Задамо цю функціональну залежність таблицею. Для цього треба записати масу води і до кожного із цих значень додати 2 кг (масу бідона), а результат записати під відповідним значенням.

Маса води	1 кг	2 кг	3 кг	4 кг	5 кг	6 кг
Маса бідона з водою	3 кг	4 кг	5 кг	6 кг	7 кг	8 кг

Наведені міркування достатньо засвідчують доступність табличного способу задання функціональної залежності. Але його ефективність залежить від доцільної постановки запитань учителем.

Отже, табличний спосіб задання функцій - дуже зручний, коли область визначення складається із скінченого числа точок. Тоді функцію задають за допомогою таблиці, в якій в одному рядку (чи стовпчику) записують всі значення аргументу, а в другому - відповідні значення функції. Щоб знайти значення функції в певній точці, треба знайти цю точку у верхньому рядку таблиці і прочитати під нею значення функції. Наприклад,

х	1	2	3	4
у	1	4	9	16

Перевага табличного способу задання функції полягає в тому, що він дає можливість визначити ті чи інші конкретні значення функції одразу, без додаткових вимірювань та обчислень. Недоліком цього способу задання функції є те, що він визначає функцію не повністю, а тільки для деяких значень аргументу, він не дає наочного зображення характеру зміни функції із зміною аргументу.

Аналітичний спосіб. Цей спосіб задання функції полягає в тому, що у виражається через х за допомогою формули, яка містить загальновідомі символи операцій та символи деяких функцій. Цей спосіб дає можливість обчислити значення функції при довільному значенні аргументу, при якому вона визначена. Він найзагальніший, але його незручність полягає в тому, що дані про функцію формула містить у прихованому вигляді і у випадку складних формул досить важко виявити її властивості.

За чинною програмою початкового курсу математики задання залежностей між величинами за допомогою формули не є обов’язковою вимогою. Формули розглядаються в порядку ознайомлення і використовуються здебільшого не для розв‘язування задач, а саме для ілюстрації залежності. Задамо дану функціональну залежність формулою. Для цього позначимо масу води буквою х, а масу бідона з водою - у. Тоді запишемо масу бідона з водою з попереднього прикладу через масу води так: у = х + 2.

Словесний спосіб. Цей спосіб задання функції полягає в тому, що закон, за яким залежно від х обчислюється значення у, виражається словами. Оскільки будь-які символи і числа можна записати словами, то табличний і аналітичний способи задання функції зводяться до словесного задання функції. Цей спосіб використовується під час розв‘язування задач, в яких розглядаються взаємопов‘язані величини. Словесне пояснення залежності супроводжує також і застосування інших способів задання функціональної залежності.

Задача. У склянки з чаєм розклали 12 грудочок цукру, по 2 грудки в кожну. На скільки склянок вистачило цього цукру?

Б е с і д а. Намалюємо 12 кружечків (грудочок цукру) і підкреслимо кожні дві. Запишемо розв’язання задачі.

ОО ОО ОО ОО ОО ОО

12 : 2 = 6 (склянок).

Намалюємо 12 кружечків (грудочок цукру) і розкладемо їх по три. Запишемо розв’язання задачі.

ООО ООО ООО ООО

12 : 3 = 4 (склянки).

Намалюємо втретє 12 кружечків і підкреслимо їх по чотири. Запишемо розв’язання задачі і для цього випадку.

ОООО ОООО ОООО

12 : 3 = 4 (склянки).

Розглянемо малюнки ще раз. Коли розкладали по дві грудки цукру - склянок було 6, по три грудки - склянок 4, а по чотири грудки - склянок 3. У якому випадку склянок було менше? (В останньому, бо тут розкладали по 4 грудки цукру). Отже, чим більше кладемо грудок цукру у кожну склянку, тим менше треба склянок. Це словесне подання обернено пропорційної залежності.

Графічний спосіб. Цей спосіб задання функції через графік найбільш точно і наочно вказує на залежність між аргументом х і значенням функції у, тобто графік дає уявлення про якісну поведінку функції. У початкових класах графічний спосіб задання функціональної залежності безпосередньо не застосовується. Винятком може бути подання умови задачі у вигляді стрічкової діаграми. Але в умовах диференційованого навчання є достатньо підстав, щоб ознайомити з ним сильніших учнів.

Тому в першу чергу важливо навчити учнів розрізняти типи залежностей між величинами. Порівняємо дві задачі з метою їх з‘ясування.

Задача 1. Два хлопчики працювали на збиранні помідорів і разом заробили 100 грн. Скільки грошей зароблять три хлопчики за тих самих умов праці і оплати?

Задача 2. Два хлопчики йшли і на дорозі знайшли 100 грн. Скільки грошей знайдуть три хлопчики, якщо підуть тією ж дорогою?

У першій задачі відповідь - 150 грн. Заробітна плата усіх працюючих залежить від кількості працюючих. Неважко передбачити і відповідь другої задачі. Найімовірніше три хлопчики на тій дорозі вже не знайдуть жодної гривні. У першій бачимо, що між величинами цієї задачі існує певна залежність. У другій задачі перша величина (число хлопчиків) незалежна від величини знайдених грошей.

Функціональну пропедевтику слід здійснювати за допомогою різноманітних методичних засобів, серед яких:

· розв’язування текстових задач (на лінійну, прямо та обернено пропорційну залежності між величинами);

· складання задачі за поданою в таблиці короткою умовою;

· складання обернених задач та заміна однієї з величин задачі;

· використання вчителем допоміжних запитань, узагальнень та висновків щодо опрацьованого матеріалу;

· розвиток в учнів уміння розпізнавати залежні і незалежні величини і оперувати з ними.

Література

1. Богданович М.В. Концепція курсу математики для 1-4 класів // Поч.школа. - № 10. - 1990. - С. 10 - 13.

2. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навчальний посібник. - К.: А.С.К., 1998. - 352 с.

3. Богданович М., Лишенко Г., Хіман О. Формування уявлень про функціональну залежність // Поч.школа. - № 2. - 1997. - С. 19 - 26.

4. Мельничук Т.Й., Волкова Н.Д. Основні відомості про поняття функції //Поч.школа. - № 6. - 1976. - С. 62 - 72.