Математика/1.Дифференциальные

интегральные уравнения

к.ф.-м.н. Ысмагул Р.С.

Костанайский государственный университет , Казахстан

Об одной счетной системе некоторых интегродифференциальных уравнений в частных производных

При решении многих задач современной науки и техники часто приходится иметь дело с колебательными процессами, которые описываются дифференциальными уравнениями, как обыкновенными, так и с частными производными. В связи с этим изучение колебательных процессов, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, имеет исключительное теоретическое и прикладное значение и привлекает пристальное внимание многих исследователей.

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

, (1)

где x,Q,R– n векторы-столбцы; P(t,φ) – матрица размерности n×n,

φ = ( φ₁, …, φ_т, …) – счетномерный вектор, , >0 – малые параметры.

- дифференциальный оператор вида

, (2)

где (3)

Будем считать, что выполнены условия [1] и ( ), если:

1) вектор-функция ограничена и непрерывна по всем

переменным, обладает ограниченными и непрерывными производными первого порядка по , ; диагонально - почти периодична по , почти многопериодична по с -вектор –почти периодом , принадлежит -классу равномерно относительно ;

2) непрерывная функция такова, что существует несобственный интеграл , где постоянное.

Пусть и дифференциальный оператор имеет вид:

. (4)

Рассмотрим линеаризованное уравнение:

. (5)

Пусть -матрица типа Грина для уравнения (5) .Будем считать, что выполняется группа оценок , аналогичным оценкам II(a-b) [1].

Рассмотрим оператор Т, отображающий каждую вектор-функцию в вектор-функцию

Для вектор-функции выполняются соотношения вида:

, ,

Тем самым приходим к утверждению теоремы .

Теорема. Если уравнение (5) некритическое относительно класса и выполнены условия , для уравнения (1), то для всех значений , уравнение (1) имеет единственное почти многопериодическое решение из класса , сходящиеся при в нулевой вектор.

Рассмотрим укороченную по φ систему, получающуюся из (1):

,

где - укороченный дифференциальный оператор.

Пусть - матрица типа Грина для линеаризованного уравнения:

(11)

Доказана теорема по существовании и единственности почти многопериодического решения данной системы в указанном классе для достаточно малых . Далее показывается, что почти многопериодическое решение основной системы может быть равномерно аппроксимировано почти многопериодическим решением системы по вида: [2]

Литература:

1. Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. Алма-ата, Наука, 1990, 188 с.

2.. Исмагулова Р.С. О применении метода укорочения к построению почти многопериодического решения одной системы интегродифференциальных уравнений частных производных // Алма-Ата, 1987, 25 с. Деп. в ВИНИТИ 3.07.87.№5474-В.87 Деп