Ленюк М. П.

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

ГІБРИДНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ (КОНТРОВИЧА-ЛЄБЄДЄВА) – ЕЙЛЕРА – БЕССЕЛЯ НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ

Запровадимо методом дельта – подібної послідовності інтегральне перетворення, породжене на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО).

(1)

У рівності (1) - одинична функція Гевісайда [1]; - диференціальний оператор Конторовича-Лєбєдєва [2]; - диференціальний оператор Ейлера [3], - диференціальний оператор Бесселя [4]; .

Оскільки ГДО самоспряжений і має дві особливі точки та , то його спектр дійсний і неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає комплекснозначна спектральна вектор-функція [5].

(2)

При цьому функції

, (3)

повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

(4)

та стандартні умови спряження

(5)

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Конторовича-Лєбєдєва складають функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають функції та [4].

В силу лінійності задачі (3) – (5) покладемо

(6)

Для знаходження 12-ти величин залучимо дельта-подібну послідовність - ядро Коші як фундаментальну матрицю розв’язків задачі Коші для параболічної системи рівнянь теплопровідності, породженої ГДО , визначеною рівністю (1).

Побудуємо в області обмежений розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь параболічного типу [6]

(7)

за початковими умовами

(8)

та умовами спряження

(9)

Припустимо, що вектор-функція є оригіналом за Лапласом стосовно [7]. В зображенні за Лапласом отримуємо крайову задачу: побудувати обмежений на множині розв’язок системи звичайних диференціальних рівнянь Конторовича-Лєбєдєва, Ейлера та Бесселя другого порядку для модифікованих функцій

(10)

за умовами спряження

(11)

У рівностях (10), (11) , , [7].

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича - Лєбєдєва) утворюють модифіковані функції Бесселя та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють модифіковані функції Бесселя та [4].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість побудувати загальний розв’язок крайової задачі (10), (11) методом функцій Коші [1,3]:

(12)

У рівностях (12) - функції Коші [1.3]:

(13)

(14)

(15)

Умови спряження (11) для визначення величин дають алгебраїчну систему із чотирьох рівнянь:

(16)

У системі (16) беруть участь функції

,

та символ Кронекера.

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язаності крайової задачі (10), (11): для з , де - абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та визначник алгебраїчної системи (16) відмінний від нуля

(17)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (16) й підстановки одержаних значень та у рівності (12) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (10), (11):

(18)

У рівностях (18) беруть участь породжені неоднорідністю системи (16) функції впливу:

(19)

Повертаючись у рівностях (18) до оригіналу, маємо єдиний розв’язок параболічної задачі (7) – (9):

(20)

Тут за означенням [7]

(21)

Особливими точками функцій впливу є точки галуження та . Покладемо , тобто . Звідси знаходимо, що , . Якщо , то якщо , то якщо , то , .

Згідно методу контурного інтегралу, леми Жордана та теореми Коші [7] формули (21) набувають розрахункового вигляду:

(22)

Скористаємось відомими співвідношеннями [8,9]:

Безпосередні розрахунки дають рівності:

Визначимо величини та функції:

Виконавши в рівностях (22) зазначені операції для , будемо мати рівності:

(23)

(24)

(25)

Якщо тепер вимагати виконання рівностей

(26)

де риска зверху означає комплексне спряження, а Re(…) - дійсна частина виразу (…), то для визначення величин одержимо алгебраїчну систему з 11-ти рівнянь:

(27)

Поклавши ,знайдемо, що

Підставимо визначені величини та у рівності (6). Одержимо функції:

(28)

(29)

Згідно формули (2) спектральна вектор-функція визначена.

Практика показує, що із визначеними формулами (28) – (30) функціями справджуються рівності (26) і для при [8,9]:

(31)

Наявність рівностей (31) дає можливість розв’язок параболічної задачі (7) - (9), поданий формулами (20), зобразити в такому вигляді:

(32)

В силу початкових умов (8) та властивостей ядра Коші як дельта-подібної послідовності з рівностей (32) одержуємо інтегральне зображення вектор-функції з області задання ГДО :

(33)

Тут бере участь вагова функція

Інтегральне зображення (33) визначає пряме та обернене гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині ГДО , визначеним рівністю (1):

, (34)

(35)

Математичним обґрунтуванням правил (34), (35) є твердження.

Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо вектор-функція

обмежена, неперервна, абсолютно сумовна з обмеженою варіацією на множині , то для будь-якого має місце інтегральне зображення (33).

Визначимо величини та функції:

Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють умови обмеження

та умови спряження

,

то справджується основна тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора :

(36)

Доведення здійснюється за логічною схемою доведення ідентичної теореми в роботі [8].

Одержані правила (34), (35), (36) складають ефективний математичний апарат для одержання інтегрального зображення аналітичного розв’язку відповідних здач математичної фізики неоднорідних середовищ.

Література:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

2. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича – Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280с.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959.-468с.

4. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

5. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина1.- Тернопіль: Економ.думка, 2004.-368с.

6. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.

7. Лавренеьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688с.

8. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера – (Фур’є, Бесселя).- Чернівці: Прут, 2009.-76с.

9. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108с.