Регистрационный номер № 65950

Канд. физ.-мат. наук, профессор Хайруллин Е.М.,

 ст. преподаватель Лукпанова Л.Х. 

 

Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева,

 г. Алматы, Республика Казахстан

 

Об условиях разрешимости одной особой граничной  задачи для параболических интегро-дифференциальных  уравнений 

 

В работе [2] рассмотрена общая граничная  задача для уравнения теплопроводности в двумерном случае.

В настоящей работе также исследуется граничная задача для параболического интегро-дифференциального уравнения (ПИДУ) и методом сингулярных интегральных уравнений найдено решение краевой задачи в явном виде.

Постановка задачи.       Найти решение ПИДУ       

                                                         (1)

в области  удовлетворяющее начальному условию

                                                                                               (2)

и граничному условию

                                     ,                                  (3)

где ,  - оператор Лапласа;

,

- заданные величины, ,  - заданная постоянная,  и - известные  заданные функции соответственно удовлетворяют следующим неравенствам:

                  ,                                          (4)                     

                   .                                                         (5)

Функция  продолжена на отрицательную полуось  так, чтобы  функция  была нечетной по пере-

менной .

Будем искать решение , непрерывное вместе со своими производными до -го порядка по   и   в ,                                          

                      ,                           (6)                

где и - некоторые постоянные величины,

а    - также постоянная величина, удовлетворяющая неравенству

                                                  .                                             (7)

Сведение задачи (1)-(3) к интегральному уравнению. Решение краевой задачи (1)-(3) будем искать в виде 

                                                    (8)

где функция  определяется в следующем виде:

причем - фундаментальное решение уравнения теплопроводности, а функция  имеет вид:

где - резольвента интегрального уравнения Вольтерра – Фредгольма второго рода.

Непосредственной проверкой можно показать [4] , что функция , определяемая формулой (7) удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).

Из непрерывности производных функций  до - го порядка по  и  в  и в силу нулевого начального условия  (2):

                                        (9)

причем

                                                      (10)

где

,

I- единичный оператор.

Теперь функцию  выберем из класса функций, удовлетворяющих условиям (9) и неравенствам (10) так, чтобы функция   удовлетворяла граничному условию (3).

Для нахождения предела производной функции  при , входящих в условие (3), сформулируем лемму, приведенной в работе [5].

 

Лемма. Если функции  и  соответственно из классов

   и , то

                                     

                                        (11)

                                       (12)

Теперь подставляя функцию , определяемую равенством (8), в краевое условие (3) и используя лемму, получим относительно неизвестной функции  ИДУ

                        (13)

 

В уравнении (13) порядок производной под знаком интеграла выше порядка производной вне интеграла. Это обстоятельство вызывает определенные трудности, поэтому для упрощения введем обратный оператор:

                  .           (14)

Применяя оператор , определяемый равенством (14) к ИДУ (13), получим ему эквивалентное сингулярное интегральное уравнение (СИУ)

               ,                                                     (15)

где          ;                                                       (16)

- интегральный оператор с ядром

причем ядро  удовлетворяет оценке

                                                               (17)

и

                                                   ,                                             (18)

а - интегральный оператор с ядром , удовлетворяющий оценке

                                                      (19)

            Следует отметить, что интегральный оператор  не всегда может существовать ввиду наличия делителя  в ядре . Если функция  ограничена и относительно первого аргумента непрерывна в смысле Гельдера, то этот интеграл существует.

Вследствие этого решение таких интегральных уравнений не всегда можно найти методом последовательных приближений, хотя по внешнему виду они являются уравнениями типа Вольтерра второго рода.

     Решение интегрального уравнения (15). Существование решения СИУ (15)

докажем методом регуляризации [1].  С этой целью, принимая во внимание(17), (19)  и выделяя главную часть уравнения (15), перепишем его в следующем виде:

                                        ,                                         (20)

где

                                                                           (21)

Следуя работе [3], применяя метод интегральных преобразований Фурье -Лапласа к (20) временно считая  известной, при выполнении условия разрешимости

                                              ,                                               (22)

где - корни характерического уравнения

                                                                                      (23)

    с кратностями ,    найдено решение

уравнения (20) в следующем виде:

                                         ,                                   (24)

где  - интегральный оператор с ядром

 

                                                   (25)

в свою очередь   - определенный коэффициент, зависящий только от  .

Функцию , определяемую формулой (25), назовем резольвентой. Резольвента удовлетворяет интегральным уравнениям:

 (26)

       (27)

и

                                      .                                                               (28)

Решение интегрального уравнения (19) в классе растущих функций.

Функциональное пространство из функций , удовлетворяющих в области  неравенствам:

,

,

где , ,  обозначим через  .

Теперь рассмотрим интегральное уравнение (20), когда . Будем искать решение уравнения в классе   . Пусть .

Введем операторы  и , действующие в области  на функцию  следующим образом:

                               ,                                  (29)

                              .                             (30)

Очевидно, что

        

                           (31)

Учитывая равенства (17) и (28), можно доказать, что

                        

             (32)

Последняя формула фактически является формулой перестановки двух сингулярных интегралов. При  перестановке двух сингулярных интегралов обычно выделяется дополнительное слагаемое, например в формуле Пуанкаре – Бертрана, но в нашем случае этого не случилось в результате наличия двух равенств (18) и (28).

Подставляя выражение (32) в формулу (31), получим

Но на основании уравнения резольвенты (26) подынтегральное выражение внутри квадратной скобки равно нулю, поэтому

                                            .                                                (33)

Аналогично можно показать, что  .                                       (34)

После установления равенств (33) и (34) можно решить уравнение (20), когда  - растущая функция. Перепишем уравнение (20) с помощью введенного обозначения (28) в следующем виде

                                          .                                              (35)

Применим к обеим частям равенства (35) оператор , определяемый равенством (30). Тогда на основании формулы (34), получим

                                      .                                         (36)

Это равенство – формула (24) в символической форме.

Укажем, что перестановка интегралов и дифференцирование под знаком несобственных интегралов  здесь вполне законны. Если , то интегралы в правой части равенства (36) существуют и можно показать, что функция - решение уравнения (20). Кроме того, можно указать случай, для которого уравнение (20) не имеет решения при не выполнении условия разрешимости, например: .

Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы уравнение (20), когда , имело решение в классе обычных функций, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (23) удовлетворяли неравенству (22).

Теперь используя равенство (36) при этом учитывая (21), интегральное уравнение (15) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением Вольтерра 2- го рода:

                                   ,                                       (37)

где ,

а функция  определяется равенством (16).

          Очевидно, что оператор как произведение ограниченного и слабо сингулярного операторов так же является слабо сингулярным и ядро его удовлетворяет оценке (19). Поэтому интегральное уравнение (37) имеет единственное непрерывное решение, которое можно найти методом последовательных приближений. Тем самым доказано существование непрерывного решения интегрального уравнения (37).

В итоге получена следующая

Теорема. Если ,  принадлежат  и соответственно удовлетворяют неравенствам (4), (5) и корни характеристического уравнения удовлетворяют неравенству (21), то краевая задача (1)-(3) имеет решение , определяемое формулой (8) и при условии (7) удовлетворяет неравенствам (6), где неизвестная функция  находится как решение интегрального уравнения (37).

 

 

 

Литература

1. Мусхелишвели Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.

Физ.мат. изд.1968

2. Ким Е.И. Об условиях разрешимости одной граничной задачи уравнения теплопроводности. Докл. АН СССР, 1961, т. 140, №3, - с.553-556

3. Хайруллин Е.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2002г., -с. 136-139

4. Хайруллин Е.М., Тулешева Г.А., Сейткулова Ж.Н. Функция Коши для параболического интегро – дифференциального уравнения. Известия научно- технического общества «Каках», Алматы, 2007, с. 96-98.

5. Хайруллин Е.М., Сейткулова Ж.Н. Об одной краевой задаче для системы интегро-дифференциальных уравнений параболического типа. Труды IV «Естественно-гуманитарные науки и их роль в реализации программы индустриально-инновационного развития Республики Казахстан». Алматы – 2009, -с. 246-249.