Луцюк Ю.В.

Буковинська державна фінансова академія

Алгоритм розв’язання диференціально-

алгебраїчних систем

У роботі досліджується алгоритм наближеного розв’язання системи неявних диференціально-алгебраїчних рівнянь вигляду

, , (1)

де , , .

Відзначимо, що такі системи є математичними моделями ряду важливих прикладних задач в електротехніці, нелінійній механіці, теорії керування системами із обмеженнями [1, 2].

Розглянемо алгоритм наближеного розв’язання системи (1), що не передбачає її зведення до нормального вигляду.

Введемо позначення

, ,

і перепишемо систему (1) у вигляді

. (2)

1. Нехай розв’язок системи (2) знайдений в точках

, , …, .

2. У точці маємо рівняння

.

3. Використовуючи формулу диференціювання назад [3]

, (3)

одержуємо рівняння

. (4)

4. Розв’язуємо систему (3) методом Ньютона

, (5)

де – матриця Якобі функції . Вибираючи початковий момент , за допомогою формули (3) при можна розв’язати систему (4) відносно . Для знаходження можна використовувати формулу (3) при і т. д. У процесі обчислення порядок формули (3) можна змінювати, досягаючи компромісу між точністю та трудомісткістю обчислень.

У програмних середовищах Delphi, C++, досить легко розробити прикладну програму, яка реалізує наведений алгоритм розв’язання систем (1) на ЕОМ. Відзначимо наступні складнощі при реалізації наведеного алгоритму:

а) початкові дані для системи (1) повинні бути узгоджені;

б) матриця , як правило, погано обумовлена;

в) точність розв’язку істотно залежать від ефективності вибору нульових наближень ітераційного процесу (5).

Якщо говорити, про системи рівнянь з сталими коефіцієнтами, то досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з такими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді

.

Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

або .

Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

.

Складемо характеристичне рівняння матриці

, або .

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів.

Використана література

1. Кузнецов Е. Б., Шалашвили В. И. Решение дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 1997. – 37, № 6. – С. 711–722.

2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференци-альных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебра-ические задачи. – М.: Мир, 1999. – 665 с.

3. Чуа Л. О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. – М.: Мир, 1980. – 640 с.