А.М.Павлов

Восточно-Казахстанский государственный университет им. С.Аманжолова

Теория теплопроводности газов с учетом их кластеризации

Классическая теория теплопроводности газов не описывает экспериментальные данные. Подробная теория явлений переноса изложена в [1], где приводятся приближенные и точные формулы для коэффициентов переноса. Приближенные формулы содержат коэффициенты разложения функции распределения по полиномам Сонина: Для коэффициента теплопроводности записано:

(1)

где - есть коэффициенты разложения по полиномам Сонина. Нахождение этих коэффициентов связано с вычислением достаточно сложных интегралов.

Так называемые точные решения уравнений переноса содержат сложные интегралы , которые тобулированы. Вычисление коэффициентов переноса связано с раскрытием определителей очень большого порядка, элементами которого служат сложные выражения, содержащие те же интегралы. Основным недостатком приведенной в [1] схемы расчетов является их громоздкость. Кроме того, определители очень большого порядка можно вычислить только на ЭВМ. Отсюда возникла необходимость вернуться к определению коэффициентов переноса и попытаться несколько упростить вычисления.

Основной идеей в наших расчетах является учет процессов комплексообразования или кластеризации. Вследствие наличия сил притяжения молекулы газа могут объединяться в группы, называемые комплексами, ассоциатами или кластерами. Отсюда следует, что даже химически чистый газ можно рассматривать как смесь газов мономеров, димеров, тримеров и т.д. Несмотря на то, что комплексы молекул непрерывно распадаются и образуются вновь, принцип детального равновесия следует дополнить положением о сохранении числа частиц каждого сорта. В этом случае для каждого сорта кластеров можно найти функцию распределения и с ее помощью подсчитать потоки энергии, переносимые каждым сортом частиц, а затем и всеми кластерами.

Самый простой способ найти неравновесную функцию распределения – это использовать - приближение. Согласно этому приближению интеграл столкновений заменяется отношением , где - искомая функция, а- равновесная функция, - время релаксации. В этом случае кинетическое уравнение принимает вид:

(2)

Считая малым параметром и разлагая в ряд по степеням этого параметра, для первого приближения получаем:

, (3)

где

- (4)

локально-равновесная функция распределения. Отсюда для получаем:

(5)

Функция зависит неявно от через и . После нахождения соответствующих производных для получается:

(6)

Поток энергии при теплопроводности в одноатомном газе определяется по формуле:

(7)

Первое слагаемое в (7) равно нулю, так как - нечетная функция и поэтому потоки слева направо и в обратном направлении будут равны. Остается в (7) только второе слагаемое. Необходимо сразу отметить, что (7) записано для одноатомного газа.

Применительно к комплексам - для мономеров этого газа.

Комплексы большей размерности имеют кроме поступательных вращательные и колебательные степени свободы. Однако при учете этих степеней свободы следует помнить, что энергия связи комплекса существенно меньше энергии связи атомов в молекуле. Если последняя составляет десятки тысяч градусов, то первая – всего порядка сотни. Далее, колебательных уровней энергии очень мало – всего 2-7. По этой причине колебательные степени свободы практически не участвуют в обмене энергией и этот вид энергии можно не учитывать Вращательные уровни энергии расположены достаточно густо и их несколько десятком. Поэтому вращательную энергию кластеров газа учитывать необходимо. При этих предположениях

(8)

(9)

Энергия вращательного движения в и взята средней. Первое слагаемое в этих формулах – это энергия поступательного движения кластеров.

Поток энергии, переносимый каждым видом кластеров можно подсчитать по формуле:

(10)

Сложив все эти потоки, определим полный поток энергии и, следовательно, коэффициент теплопроводности.

Остается неопределенным время релаксации. Согласно [2] коэффициент сохраняемости скорости при одиночном столкновении находится между и , а при 40% можно получить сравнительно неплохие результаты. Поскольку скорость в результате одного столкновения уменьшается в 2 раза, то для прохождения пути, равного длине свободного пробега потребуется столкнуться дважды. А чтобы пройти путь потребуется 8-10 столкновений. Поэтому можно считать

(11)

где - длина свободного пробега.

При подсчете длины свободного пробега необходимо знать число столкновений частицы данного сорта не только с тождественными частицами, но и с объектами других сортов. При усреднении диаметров столкновений по всевозможным конфигурациям, были получены следующие формулы для числа столкновений частиц каждого сорта:

;

; (12)

.

где диаметр молекулы.

Следовательно,

(13)

где - коэффициенты при в (12).

После проведения всех вычислений нами была получена следующая формула для коэффициента теплопроводности:

, (14)

где

Формула (14) была получена когда учитываются только димеры и тримеры и, следовательно, применима для неплотных газов. Для вычислений по этой формуле необходимо определить концентрацию кластеров, а также производные по от . Это самостоятельная задача, решение которой хорошо известно. Поэтому на этой задаче здесь останавливаться не будем. Наши расчеты по формуле (14) дали при 220-240 К и =100 бар погрешность меньше 10%. Следовательно данная формула может быть использована для подсчета коэффициента теплопроводности.

Все расчеты имеют ясный и понятный смысл, а формула объясняет как зависимость от , так и особенности поведения коэффициента теплопроводности в зависимости от температуры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гильтфельдер Дж, Кертисс Ч. И Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.-М.:ИЛ, 1961-с.929.

2. Цянь Сюэ-Сень. Физическая механика.-М.: Мир,1965.-544 с.