А.М.Павлов
Восточно-Казахстанский
государственный университет им. С.Аманжолова
Теория теплопроводности газов с
учетом их кластеризации
Классическая теория теплопроводности газов
не описывает экспериментальные данные. Подробная теория явлений переноса
изложена в [1], где приводятся приближенные и точные формулы для коэффициентов
переноса. Приближенные формулы содержат коэффициенты разложения функции
распределения по полиномам Сонина: Для коэффициента теплопроводности записано:
(1)
где - есть коэффициенты
разложения по полиномам Сонина. Нахождение этих коэффициентов связано с
вычислением достаточно сложных интегралов.
Так называемые точные решения уравнений
переноса содержат сложные интегралы , которые тобулированы. Вычисление коэффициентов переноса
связано с раскрытием определителей очень большого порядка, элементами которого
служат сложные выражения, содержащие те же интегралы. Основным недостатком
приведенной в [1] схемы расчетов является их громоздкость. Кроме того,
определители очень большого порядка можно вычислить только на ЭВМ. Отсюда
возникла необходимость вернуться к определению коэффициентов переноса и попытаться
несколько упростить вычисления.
Основной идеей в наших расчетах является
учет процессов комплексообразования или кластеризации. Вследствие наличия сил
притяжения молекулы газа могут объединяться в группы, называемые комплексами,
ассоциатами или кластерами. Отсюда следует, что даже химически чистый газ можно
рассматривать как смесь газов мономеров, димеров, тримеров и т.д. Несмотря на
то, что комплексы молекул непрерывно распадаются и образуются вновь, принцип
детального равновесия следует дополнить положением о сохранении числа частиц
каждого сорта. В этом случае для каждого сорта кластеров можно найти функцию
распределения и с ее помощью подсчитать потоки энергии, переносимые каждым
сортом частиц, а затем и всеми кластерами.
Самый простой способ найти неравновесную
функцию распределения – это использовать - приближение. Согласно
этому приближению интеграл столкновений заменяется отношением
, где
- искомая функция, а
- равновесная функция,
- время релаксации. В этом случае кинетическое уравнение
принимает вид:
(2)
Считая малым параметром и
разлагая
в ряд по степеням
этого параметра, для первого приближения получаем:
, (3)
где
-
(4)
локально-равновесная функция распределения. Отсюда для получаем:
(5)
Функция зависит неявно от
через
и
. После нахождения соответствующих производных для
получается:
(6)
Поток энергии при теплопроводности в
одноатомном газе определяется по формуле:
(7)
Первое слагаемое в (7) равно нулю, так как
- нечетная функция и поэтому потоки слева направо и в
обратном направлении будут равны. Остается в (7) только второе слагаемое.
Необходимо сразу отметить, что (7) записано для одноатомного газа.
Применительно к комплексам - для мономеров этого газа.
Комплексы большей размерности имеют кроме
поступательных вращательные и колебательные степени свободы. Однако при учете
этих степеней свободы следует помнить, что энергия связи комплекса существенно
меньше энергии связи атомов в молекуле. Если последняя составляет десятки тысяч
градусов, то первая – всего порядка сотни. Далее, колебательных уровней энергии
очень мало – всего 2-7. По этой причине колебательные степени свободы
практически не участвуют в обмене
энергией и этот вид энергии можно не учитывать Вращательные уровни энергии
расположены достаточно густо и их несколько десятком. Поэтому вращательную
энергию кластеров газа учитывать необходимо. При этих предположениях
(8)
(9)
Энергия вращательного движения в и
взята средней. Первое
слагаемое в этих формулах – это энергия поступательного движения кластеров.
Поток энергии, переносимый каждым видом
кластеров можно подсчитать по формуле:
(10)
Сложив все эти потоки, определим полный
поток энергии и, следовательно, коэффициент теплопроводности.
Остается неопределенным время релаксации.
Согласно [2] коэффициент сохраняемости скорости при одиночном столкновении
находится между и
, а при 40% можно
получить сравнительно неплохие результаты. Поскольку скорость в результате
одного столкновения уменьшается в 2 раза, то для прохождения пути, равного
длине свободного пробега потребуется столкнуться дважды. А чтобы пройти путь
потребуется 8-10
столкновений. Поэтому можно считать
(11)
где - длина свободного пробега.
При подсчете длины свободного пробега
необходимо знать число столкновений частицы данного сорта не только с
тождественными частицами, но и с объектами других сортов. При усреднении
диаметров столкновений по всевозможным конфигурациям, были получены следующие
формулы для числа столкновений частиц каждого сорта:
;
;
(12)
.
где диаметр молекулы.
Следовательно,
(13)
где - коэффициенты при
в (12).
После проведения всех вычислений нами была
получена следующая формула для коэффициента теплопроводности:
, (14)
где
Формула (14) была получена когда
учитываются только димеры и тримеры и, следовательно, применима для неплотных
газов. Для вычислений по этой формуле
необходимо определить концентрацию кластеров, а также производные по
от
. Это самостоятельная задача, решение которой хорошо
известно. Поэтому на этой задаче здесь останавливаться не будем. Наши расчеты
по формуле (14) дали
при 220-240 К и
=100 бар погрешность меньше 10%. Следовательно данная формула
может быть использована для подсчета коэффициента теплопроводности.
Все расчеты имеют ясный и понятный смысл,
а формула объясняет как зависимость от
, так и особенности поведения коэффициента теплопроводности в
зависимости от температуры.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Гильтфельдер Дж, Кертисс
Ч. И Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.-М.:ИЛ, 1961-с.929.
2.
Цянь Сюэ-Сень.
Физическая механика.-М.: Мир,1965.-544 с.