Математика/4.Прикладная математика

Рябоштан А.Ф., Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет

сельского хозяйства им. П. Василенко

Дифференциальные уравнения многообразия поверхностей лопаток газовых турбин

Рассмотрим множество поверхностей

, (1)

где - коэффициенты, влияющие как на форму, так и на положение лопатки турбины.

Попытаемся определить дифференциальное уравнение всего многообразия огибающих поверхностей, которое можно получить из заданного - параметрического множества. Дифференцируем (1) по и по

(2)

Для двупараметрического множества (1) достаточно из (1) и (2) исключить параметры и . Получим дифференциальное уравнение в частных производных I-го порядка, для которого (1) будет полным интегралом. Чтобы получить уравнение, содержащее только переменные , , и частные производные , , , , необходимо к уравнениям (2) применить известный алгоритм и составить уравнение

(3)

И рассмотреть уравнения (1)-(3) совместно.

Более подробно уравнение (3) имеет вид:

. (4)

При уравнение (3) нужно продифференцировать нужное число раз до тех пор, пока число уравнений (совместно с (1)-(3)) будет . Из полученной системы уравнений исключить коэффициентов , что дает искомое дифференциальное уравнение.

Однако, во многих случаях конструирования инженерных поверхностей вовсе не требуется искать уравнение, не содержащее параметров . Наоборот, параметры нужно зафиксировать в целях удовлетворения заданным геометрический условиям, а дифференциальные уравнения нужно составлять такого порядка, какой степени заданы дифференциальные условия.

В то время, когда дифференциальное уравнение, не содержащее для данного (1), является единственным, уравнений с параметрами можно получить бесконечное множество.

Например, для множества сфер постоянного радиуса

(5)

имеем

, (6)

откуда

(7)

или

(8)

Дифференциальное уравнение для (5), не содержащее коэффициентов (единственное) имеет вид:

(9)

и выражает дифференциальные условия для всех каналовых поверхностей радиуса .

Для множества конических поверхностей

. (10)

Единственное дифференциальное уравнение, не содержащее коэффициенты , имеет вид:

. (11)

Для множества конических поверхностей вращения

(12)

Дифференциальным уравнением в частных производных, не содержащим коэффициентов , , , является

(13)

(14)

Чтобы определить ребро возврата, необходимо из уравнений (14) продифференцировать по и полученное уравнение для рассмотреть совместно с (14).

, . (15)

Вышеизложенное позволяет конструировать поверхности лопаток, заданные своими специальными линиями (кривизны, перехода и т.д.). В этом случае, как ранее указывалось, нужно взять соответствующее оснащение кривой и применить уравнение (13).

Рассмотрим задачу построения поверхности лопатки, переходящую в поверхность ступицы

, . (16)

Предполагается, что существует множество плоскостей, переходящих от к .

Составляем условие касания плоскости (1) к поверхности (16)

, , (17)

, . (18)

Исключая , , (координаты точки касания с поверхностью ) из (1), и (17) получим зависимость

(19).

Аналогично из (1), и (18)

(20)

Рассматривая совместно (19) и (20), определяем зависимость двух коэффициентов от третьего, например

, . (21)

Подставляем в (1) и определяем искомую поверхность, огибающую множество плоскостей (1) с учетом (21).

Заметим, что изложенные выше алгоритмы могут отказаться в некоторых случаях более простыми по сравнению с разработанными ранее. Общим их недостатком является сложность аналитических преобразований, трудности, возникающие при исключении параметров. Выходом из указанного затруднения может служить:

- переход к интерполяционным и апроксимационным методам;

- разработка метода поэлементарного проектирования, широко распространенного в задачах профилирования поверхностей лопаток газовых турбин..