УДК 66.07.48
Аманбаев Т. Р., Джумагалиева А.
Южно-Казахстанский
государственный университет имени М.Ауезова,Шымкент,Казахстан
ПЕРВЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ КАПЛИ
Работа посвящена исследованию первых
интегралов уравнений движения капли при наличии фазовых превращений и
пылеулавливания. Нахождение первых интегралов дифференциальных уравнений очень
важно, поскольку они имеют фундаментальное значение. Классическим примером
может служить интеграл Бернулли в гидродинамике.
Рассмотрим движение одиночной капли в
безграничной смеси газа с мелкими частицами. Примем следующие допущения: капля
не деформируется и не дробится; внешние силы отсутствуют; нестационарными
эффектами силового и теплового взаимодействий газа и капли пренебрегается, что имеет место, например,
при плотности вещества капли намного превышающей плотность газа, или при
достаточно большом числе Рейнольдса капли [1, 3].
Размеры твердых частиц настолько малы,
что их смесь с газом можно рассматривать как односкоростную и однотемпературную
сплошную среду (эффективный или запыленный газ) со своими особыми
теплофизическими свойствами.
В
рамках принятых допущений уравнения массы, импульса и внутренней энергии капли,
двигающейся в эффективном газе можно записать в виде
(1)
Здесь
– масса, скорость и внутренняя энергия капли; m2ℓ – масса
ее жидкой составляющей; 
– интенсивности пылеулавливания и фазовых превращений; 
– сила вязкого трения между газом и каплей и
интенсивность притока тепла к межфазной поверхности изнутри капли; 
– скорость и
внутренняя энергия мелких частиц
(согласно принятому предположению скорости частиц совпадают со скоростью газа);
– внутренняя энергия
жидкой составляющей капли при температуре насыщения. Отметим, что система (1)
относится к автономному типу систем уравнений.
Для замыкания системы (1) необходимо
добавить уравнения состояния капли и мелких частиц. При этом жидкую
составляющую капли и мелкие частицы будем считать несжимаемыми, а их
теплоемкости – постоянными. Для
определения интенсивности пылеулавливания используем элементарную схему подсчета
столкновений между каплей и мелкими частицами с учетом коэффициента захвата η [2]. Процессы фазовых превращений
и теплообмена между каплей и газом будем описывать в рамках трехтемпературной
схемы с внешним и внутренним числами Нуссельта. При этом температуру межфазной
поверхности примем равной температуре насыщения. Силу взаимодействия капли с
несущей средой зададим обычным образом с помощью коэффициента сопротивления.
Для чисел Нуссельта и коэффициента сопротивления в предельных стоксовом и
ньютоновом режимах обтекания капли имеются следующие зависимости [1, 3]:
где 
– внутреннее и
внешнее числа Нуссельта, число Рейнольдса относительного обтекания капли и
число Прандтля; 
– плотность, а также коэффициенты вязкости, теплоемкости (при
постоянном давлении) и теплопроводности газа; d – диаметр капли.
Введем
следующие безразмерные переменные
где 
– температуры эффективного газа и капли;
- начальные диаметр, скорость и температура капли. Рассмотрим
случай, когда в эффективном газе отсутствуют мелкие частицы (
), но имеют место фазовые превращения (
) в температурном режиме 
. В частности, когда газ (пар капли) находится при
температуре насыщения 
система (
- коэффициенты теплоемкости и теплопроводности вещества
капли)
(2)
которые
можно трактовать как первые интегралы системы (1) в случае 
и 
. Аналогично для ньютонового режима имеем следующие первые
интегралы
где 
Другим важным частным случаем, когда
система (1) допускает первые интегралы, является условие 
, т.е. капля находится при температуре насыщения. При этом
система (1) значительно упрощается, поскольку температура капли перестает быть
переменной. Таким образом, получим следующие зависимости:
(3)
В случае, когда в запыленном газе фазовые
превращения отсутствуют (
), но имеет место захват мелких частиц каплей (
)первые интегралы системы (1) (в предположении, что
плотности и теплоемкости частиц и капли совпадают, а коэффициент
пылеулавливания каплей η
постоянен):
(4)
Анализируя полученные первые интегралы
можно сделать некоторые важные выводы. В частности, из (2) и (4) следует, что в
стоксовом режиме диаметр капли может расти только до некоторого предельного
значения: 
- в случае конденсации
пара и 
- при наличии захвата
пыли. Кроме того, из (4) можно получить выражение, характеризующее соотношение
скорости и температуры капли
Отсюда видно, что поскольку выражение
внутри квадратных скобок меньше единицы, то в случае, когда θ<1
(что имеет место, например, для капли воды в воздухе) процесс выравнивания
скоростей газа и капли происходит быстрее, чем выравнивание их температур.
Если θ>1,
то наоборот, релаксация температур идет быстрее, чем релаксация скоростей. При θ=1 скорость и температура капли
меняются одинаково. Анализ показал, что при наличии фазовых превращений в
чистом (без частиц) газе в стоксовом режиме движения капли релаксация
температур происходит быстрее, чем релаксация скоростей.
Литература
1.
Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред.
М.: Наука, 1987.
2.
Аманбаев Т.Р. Динамика и теплообмен капли
в запыленном газе при наличии фазовых превращений и пылеулавливания //
Теплофиз. высок. темпер. -2004.-Т.42.-№5.-С.780-787.
3. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г.,
Нигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных сред // ВИНИТИ. Итоги науки и
техники. Сер. Механика жидкости и газа. -1981.-Т.16.-С.209-292.