Ленюк М.П.
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
Обчислення невласних
інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора
Ейлера-(Конторовича-Лєбєдєва) на полярній вісі
Розглянемо задачу про
конструкцію обмеженого на множині = {r: r Î (0, R1)
(R1, ¥)} розв’язку
системи диференціальних рівнянь Ейлера й (Конторовича-Лєбєдєва) для
модифікованих функцій
, r Î (0, R1),
, r Î (R1, ¥) (1)
за умовами
спряження
, j = 1, 2. (2)
У
рівностях (1), (2) беруть участь величини qj
> 0, ³ 0,
³ 0,
cj1 =
, c11c21 > 0, j = 1, 2 та диференціальний
оператор Ейлера
[1] й
(Конторовича-Лєбєдєва)
, 2aj + 1 ³ 0, l Î (0, ¥) [2].
Фундаментальну систему розв’язків для
рівняння Ейлера утворюють
функції v1 = r–(a + q) та v2 = r –a + q) [1].
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння
(Конторовича-Лєбєдєва) (Ba – q2)v = 0 утворюють
функції v1 = Iq, a(lr) та v2 = Kq, a(lr) [2], де In, a(lr) º (lr)–aIn(lr),
Kn, a(lr) = (lr)–aKn(lr); In(x) – модифікована
функція Бесселя І-го роду, а Kn(x) – модифікована
функція Бесселя 2-го роду [3].
Наявність фундаментальної системи
розв’язків дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (1), (2) методом функцій
Коші [1, 4]:
,
. (3)
У рівностях (3) Ej(r, r) – функції Коші:
. (4)
Припустимо, що функція Коші
Властивості (4) функції Коші для
визначення величин C1, C2 та D2 дають
алгебраїчну систему з двох рівнянь:
,
. (5)
Звідси знаходимо співвідношення:
, D2 =
. (6)
Доповнимо співвідношення (6)
рівнянням:
,
. (7)
Із системи (6), (7) знаходимо, що
.
Цим функція Коші E1(r, r) визначена й
внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:
(8)
У рівностях (7), (8) беруть участь
функції
,
,
, j = 1,
2.
Припустимо, що функція Коші
Властивості (4) для визначення
величин C1, D1, D2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:
,
. Звідси
знаходимо співвідношення:
,
. (9)
Доповнимо
систему (9) рівнянням:
,
. (10)
Із системи (9), (10) знаходимо, що
.
Цим функція Коші E2(r, r) визначена й
внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:
(11)
У формулах (10), (11) беруть участь
функції:
,
,
, j = 1,
2.
Повернемось до формул (3). Умови
спряження (2) для визначення величин A1, B2 дають
алгебраїчну систему з двох рівнянь:
,
. (12)
У системі (12) бере участь
функція
G12 =
+
.
Припустимо, що визначник
алгебраїчної системи (12)
. (13)
Визначимо головні розв’язки крайової
задачі (1), (2):
1)
породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
,
,
,
; (14)
2)
породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу
, (a)
= (a1, a2), (15)
, q = (q1, q2),
У результаті однозначної
розв’язності алгебраїчної системи (12) в силу умови (13), підстановки
обчислених величин A1, B2 у формули (3)
та низки елементарних перетворень одержуємо єдиний розв’язок крайової задачі
(1), (2):
uj(r) = +
+
. (16)
Побудуємо
розв’язок крайової задачі (1), (2) методом гібридного інтегрального перетворення
Ейлера-(Конторовича-Лєбєдєва), породженого на множині гібридним
диференціальним оператором (ГДО)
, (17)
де q(x) – одинична
функція Гевісайда.
Визначимо величини та функції:
s1 = 1, , bj(b) = (b 2 +
)1/2,
³ 0, j = 1, 2;
,
,
,
, j = 1, 2,
,
, (a) = (a1, a2).
Нагадаємо, що фундаментальну систему
розв’язків для рівняння утворюють функції
та
[1], а для рівняння
– функції
та
[2].
Наявність спектральної функції ГДО
V(a)(r, b) = q(r)q(R1 – r)V(a); 1(r, b) + q(r – R1)V(a); 2(r, b),
спектральної
густини
W(a)(b) = b[b1(b)]–1([w(a),1(b)]2
+ [w(a),2(b)]2)–1
та
вагової функції
s(a)(r) = q(r)q(R1 – r)s 1 + q(r – R1)s 2
дозволяє
запровадити пряме H(a);1 та гібридне інтегральне
перетворення, породжене на множині
ГДО
[5]:
, (18)
, (19)
–
, (20)
.
Припустимо,
що max{;
} =
>
0. Покладемо
,
³ 0.
Застосувавши за відомою логічною
схемою [5] запроваджене формулами (18) – (20) гібридне інтегральне
перетворення, після низки елементарних перетворень отримаємо єдиний розв’язок
крайової задачі (1), (2):
+
+
, j = 1, 2. (21)
Порівнюючи розв’язки (16) та (21) в
силу єдиності, одержуємо такі формули обчислення невласних інтегралів за
власними елементами ГДО :
=
; j, k = 1, 2, (22)
=
; j = 1, 2, (23)
=
. (24)
Підсумком викладеного вище є
твердження..
Теорема.
Якщо вектор-функція f(r) = {} неперервна на множин
, а функції gj(r) задовольняють умови спряження (2), умови
обмеження в точках r = 0 та r = ¥ й виконується умова (13) однозначної розв’язності крайової задачі (1),
(2), то мають місце формули (22) – (24) обчислення невласних інтегралів за
власними елементами ГДО
, визначеного рівністю
(17).
Зауваження
1. Якщо б max{;
} =
> 0, то
³ 0,
. У цьому випадку замість
треба писати
.
Зауваження
2. Оскільки функції та
не залежать
від нерівності
³ 0 (або нерівності
³ 0), то можна покласти
(
), звужуючи при цьому сім’ю невласних
поліпараметричних інтегралів.
1.
Степанов
В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
2.
Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні
перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.
3.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с.
4.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй
специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
5.
Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні
інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль:
Економ. думка, 2004. – 368 с.