Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
К.пед.н. Башкирова И.В., к.ф.-м.н.
Карнишин С.Г.
Пермский военный институт внутренних войск МВД России
(ПВИ ВВ МВД России), Россия
ЗАДАЧА О
ДОПУСТИМОСТИ ПАР ПРОСТРАНСТВ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕНННЫХ
Рассмотрим линейное
функционально-дифференциальное уравнение
(1)
Предполагаются
выполненными следующие условия: элементы
- матрицы
определены в области
; функции
при каждом
фиксированном
суммируемы на каждом
конечном отрезке из
, полные вариации
и компоненты
вектор-функции
суммируемы на каждом
конечном отрезке из
Всюду в дальнейшем через будем обозначать
-мерное векторное пространство, через
- норму
.
Введём следующие
специальные пространства функций со значениями в . Пусть
, - скалярные непрерывные положительные на
функции.
1.
Пространство
определим как пространство непрерывных вектор-функций
для которых
произведения
,
ограничены на
. Норму в
определим равенством
2.
Обозначим
через пространство
вектор-функций
для которых
произведения
,
ограничены в
существенном на
.
Норму в пространстве
определим равенством
3.
Пусть
,
. Через
обозначим пространство
вектор-функций
для которых
произведения
суммируемы на
в степени
,
. Норму в пространстве
определим равенством
4.
Через
обозначим пространство
вектор-функций
для которых интегралы
существуют и равномерно ограничены по
на
. Норму в пространстве
зададим равенством
Рассмотрим для уравнения
(1) задачу Коши
;
. (2)
Хорошо известно, что
любое решение уравнения (1) имеет представление
,
где - матрица Коши
уравнения (1). Из этого представления видно, что свойства устойчивости по части
переменных полностью определяются свойствами фундаментальной матрицы
. А именно решение задачи (2) устойчиво по первым
переменным тогда и только тогда, когда
Обозначим через столбцы
фундаментальной матрицы. Из сказанного выше очевидно следует, что если
, где
, то решение задачи (2) устойчиво по первым
компонентам.
Пусть - банаховы
пространства измеримых вектор-функций, определённых на
.
Определение 1. Будем говорить, что для уравнения (1) допустима пара , если каждому
соответствует решение
задачи (2) при
,
принадлежащее
.
Для фундаментальной
матрицы уравнение (1) известно
следующее представление:
где -
- матрица с абсолютно
непрерывными на
компонентами, удовлетворяющая
условию
,
- единичная матрица.
Лемма 1. Пусть выполнены условия:
1)
для
уравнения (1) допустима пара ;
2)
столбцы
матрицы принадлежат
пространству
;
3)
столбцы
матрицы принадлежат
пространству
;
Тогда .
Из этой леммы видна связь
между задачей о допустимости пары и устойчивости по
части переменных решений уравнения (1).
Сформулируем критерии
разрешимости задачи о допустимости пар пространств для уравнения (1) в случае
пространств с векторным весом. Предварительно введем следующие понятия.
Определение 2. Будем говорить, что для матрицы выполнено
-условие, если существует такая постоянная
, что
при
.
Обозначим
где верхняя грань берётся по
всевозможным разбиениям отрезка
.
Теорема 1. Пусть матрица удовлетворяет
-условию и
,
. Пусть далее функции
и
,
удовлетворяют
условию: существует положительная постоянная
, такая, что при любых
выполняется
неравенство
,
. Следующие утверждения эквивалентны:
а) для решения (1)
допустима пара;
б) существует такое , что при
и
для уравнения (1)
допустима пара
;
в) существует
положительная переменная , такая, что элементы матрицы Коши уравнения (1)
удовлетворяют оценке
(3)
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функции ,
, удовлетворяет условию: существует положительная постоянная
, такая, что
,
. Следующие утверждения эквивалентны:
а) для уравнения (1) допустима пара ;
б) для уравнения (1) допустима пара ;
;
в) для уравнения (1) допустима пара ;
;
г) существуют
положительные и
, такие, что элементы матрицы Коши уравнения (1)
удовлетворяют оценке (3).
Литература
1. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В.
Устойчивость линейных систем с последствием. 1. Дифференц. уравнения.
1987. Т.23. № 5. С.745-754.
2. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости
функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80с.
3. Карнишин С.Г. Признаки устойчивости по частям переменных решений
функционально-дифференциального уравнения. Перм. политехн. ин-т. Пермь. 1989.
20с. Деп в ВИНИТИ 09.03.89, № 1560-В89.