Кладун Е.А., Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

КООРДИНАТНАЯ ФУНКЦИЯ УПРУГОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПОДВЕСА ПОПЛАВКОВОГО ГИРОСКОПА ВДОЛЬ ПАРАЛЛЕЛИ

Рассмотрим важный, с точки зрения приложений, случай воздействия проникающего акустического излучения на подвижную часть подвеса поплавкового гироскопа класса ДУСУ при дифракции звуковых волн на щели длиной 2 L (рис. 1.). Двухоболочечная конструкция гироскопа предполагается соединенной между собой упругой связью с коэффициентом жесткости С₁ (рис. 2).

Дифференциальные уравнения движения наружной упругой оболочки при условии нормального падения плоской волны давления имеет вид [1, 2]:

;

, (1)

где V, W - соответственно тангенциальные и радиальные перемещения элементов поверхности под действием падающей волны ; ; все коэффициенты постоянные по величине.

Носителем функции является сегмент , из чего следует, что , а также . .

Представим известную функцию , а также искомые функции и в форме тригонометрических рядов Фурье по переменной [1, 2]:

;

; (2)

.

Коэффициенты Фурье этих уравнений (их комплексные амплитуды) зависят и от других параметров системы (1). Но, чтобы избежать громоздкости записи, это не отражено в обозначениях [1, 2].

Подстановка выражений (2) в уравнения (1) приводит к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных и :

;

, (3)

.

Подставим сотношения (3) в (2) и получим для координатной функции перемещения поверхности оболочки в направлении параллели:

, (4)

которому соответствует характеристический полином

, (5)

или –

, (6)

где .

Формулы (5) показывают, что коэффициенты уравнений (7), (8) четные относительно . Поэтому, уравнение (8) может иметь:

- три простых корня;

- один простой и один двукратный корень;

- один трехкратный корень.

В соответствии с этим, уравнение (7) будет иметь:

- шесть простых корней;

- два простых и два двукратных корня;

- два трехкратных корня.

Пусть на мнимой оси находяться два двукратных и два простых корня.

Такое явление будет возможно тогда, когда кубическое уравнение (6) будет иметь двукратный отрицательный корень , , и один простой корень , .

Реакция динамической системы (6) на единичный импульс в этом случае будет такой:

(7)

где - подлежащие определению постоянные коэффициенты. Условиями для их вычислении являются следующие:

(8)

Превращение в нуль коэффициентов при четных степенях приводит к следующей системе трех уравнений относительно параметров :

(9)

Ее определитель

(10)

поэтому система (9) имеет только нулевое решение:

. (11)

Сравнение коэффициентов при нечетных степенях приводит к системе трех уравнений относительно остальных трех компонент - :

(12)

Определитель системы имеет вид -

.

Тогда значения интересующих коэффициентов определяется из соотношений -

(13)

В результате реакция динамической системы (4) на единичный импульс будет такой:

. (14)

Частное решение неоднородного уравнения (4) теперь можно строить в форме –

(15)

Введем обозначения:

(16)

Тогда полное решение неоднородного уравнения (4) можно записать в виде -

(17)

где - произвольные постоянные.

Чтобы построить решение, ограниченное при , необходимо и достаточно выполнение равенств -

; . (18)

Первое равенство приводит к соотношению –

,

или в такой форме:

,

.

Второе равенство имеет аналогичное следствие. Оба результата представим в виде —

. (19)

.

Как видно, величины и зависят от . Это условие не изменится, если вместо записать . Выбрав и в форме -

(20)

и оставив остальные постоянные произвольными, построим решения, ограниченные на всей оси :

(21)

,

здесь опущен индекс "". Других решений на оси неоднородное уравнение (4) не имеет.

Если условия (19) не выполняются, то неоднородное уравнение (4) не имеет корней, ограниченных на всей оси.

Литература:

1. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики.- Л..: Судостроение, 1972. – 352 с.

2. Lee F.A. Scattering of a Cylindrical Wave of Sound by an Elastic Cylinder. – “Acоustica”, 1963, v. 13. - № 13. – Р. 39-44.